1.9. Инфляция Основные формулы и примеры

Признаком инфляции является рост усредненной цены всей корзины товаров и услуг, выбранных в качестве базы для контроля за уровнем инфляции (а не увеличение цен отдельного товара или группы однотипных товаров). В зависимости от набора выбранных товаров значение темпа инфляции будет различаться.

Инфляция – снижение реальной покупательной способности денег, что важно учитывать при расчете будущей стоимости и измерении реальной доходности финансовой операции.

Индекс цен (индекс инфляции) за период

, (41)

где – цена в начале периода (базисный период); – цена в конце периода (отчетный период).

Индекс покупательной способности денег за период

. (42)

Пример 56. Стоимость 1 кг картофеля выросла с 32 руб. до 40 руб. за 6 месяцев.

Индекс цен по формуле (41)

показывает, что цены выросли в 1,25 раз.

По новой цене на 32 рубля можно купить (42):

кг картофеля.

Пример 57. За 10 лет цены выросли в пять раз, т. е. . Определим стоимость 100 000 руб. 10 лет назад (42):

руб.

Темп инфляции – это относительный прирост цен за период:

. (43)

Пример 58. Темп инфляции за год 15%, отсюда следует, что цены за год увеличатся (43) в

раз.

Индекс цен за несколько периодов

, (44)

где – прирост цен за период 1, 2, … n соответственно.

Причем новый прирост цен рассчитывается по отношению к предыдущему периоду, а не по отношению к первому периоду.

Пример 59. Последовательный прирост цен по месяцам составил 2,5%, 2%, 1,5%. Тогда за 3 месяца цены выросли (44) в

раз.

Индекс цен (индекс инфляции) за несколько периодов, если темпы инфляции каждый период одинаковые:

, (45)

отсюда средний темп инфляции за период

(46)

Пример 60. Цены за год выросли на 20%, тогда средний темп инфляции в месяц составляет (46):

или 1,53%.

Пример 61. Постоянный темп инфляции составляет 1,3% в месяц. К концу года цены вырастут (45) в

раза или на 16,8%

В этом примере ответ 1,312=15,6% является не верным, так как база для расчета темпа инфляции меняется каждый период.

Учет инфляции при расчете будущей стоимости.

Будущая стоимость с учетом инфляции (реальная стоимость)

, (47)

где FV – будущая стоимость, полученная после начисления процентов (номинальная стоимость); – индекс цен за период финансовой операции.

Раскроем формулу (47) для разных ставок подробнее в таблице 4.

Пример 62. Найти ставку, компенсирующую инфляцию, если срок операции 3 года, ожидаемый темп инфляции 12% в год. Проверить накопленную сумму, если инвестировано 100 000 руб., банк предлагает ставку по депозитам в размере 10% годовых: а) ставка сложная; б) ставка простая.

Индекс цен (индекс инфляции) (45):

.

Таблица 4

Наращение с учетом инфляции

Простые проценты	Сложные проценты
Будущая стоимость с учетом инфляции (реальная стоимость)
(48)	(49)
Увеличение стоимости капитала будет происходить, только если коэффициент наращения превышает индекс цен
Ставка r’, компенсирующая инфляцию, при использовании которой не происходит реального уменьшения капитала, несмотря на начисление процентов, выводится из равенства коэффициента наращения и индекса цен
(50)	(51)
Банковская ставка r называется положительной, если , наблюдается реальный рост покупательной способности капитала. Банковская ставка r называется отрицательной, если , начисленные проценты не компенсируют потери покупательной способности капитала в результате инфляции.

а) Ставка простых процентов, компенсирующая инфляцию (50):

или 13,5%.

Накопленная сумма с учетом инфляции (реальная стоимость) (48):

руб.

б) Ставка сложных процентов, компенсирующая инфляцию. Формула (51), при применении среднего темпа инфляции для каждого периода, преобразуется к следующему виду:

.

Накопленная сумма с учетом инфляции (реальная стоимость) (49):

руб.

Стоимость денег с учетом инфляции меньше первоначального вклада и в случае простых, и в случае сложных процентов, т. е. банковские ставки не компенсировали инфляцию. Деньги обесценились.

Учет инфляции при расчете доходности финансовой операции.

Наиболее распространенным способом компенсации возможных потерь является увеличение ставки на величину инфляции.

Брутто-ставка (номинальная доходность) компенсирует инфляцию и оговоренные по ставке r проценты, т. е. представляет собой ставку, скорректированную на инфляцию. Покажем подробнее нахождение брутто-ставки для разных ставок в таблице 5.

Таблица 5

Увеличение ставки с учетом инфляции

Простые проценты	Сложные проценты
При условии компенсации инфляции для соответствующей ставки должно выполняться равенство: доход по брутто-ставке (номинальной) равен доходу по оговоренной ставке с корректировкой на инфляцию.
(52)	(53)
Выводим брутто-ставку (номинальную доходность)
(54)	(55)
Реальную доходность операции r по известной доходности операции выводим из равенств (52) и (53)
(56)	(57)

Пример 63. Для данных примера 62 определить значение брутто-ставки.

а) Брутто-ставка (номинальная доходность) при наращении по простой процентной ставке (54):

.

Получается, что при инвестировании под номинальные простые проценты 27,55% годовых и инфляции 12% годовых реальный рост покупательной способности денег составит 10% годовых.

Проверим сделанный вывод, инвестировав под 27,55% (48):

руб.

Накопленная сумма совпадает с наращением простых процентов (пример 8).

б) Брутто-ставка (номинальная доходность) при наращении по сложной процентной ставке (55):

.

Следовательно, при инвестировании под номинальные сложные проценты 23,202% годовых и инфляции 12% годовых реальный рост покупательной способности денег составит 10% годовых с капитализацией дохода.

Проверим сделанный вывод, инвестировав под 23,202% (49):

руб.

Накопленная сумма совпадает с наращением сложных процентов (пример 9).

Пример 64. Темп инфляции составляет 2% в месяц. Найти брутто-ставку (номинальную доходность), приносящую реальный доход 10% годовых, при начислении сложных процентов в течение трех лет.

Индекс цен (45):

.

Брутто-ставка (номинальная доходность) при наращении по сложной процентной ставке (55):

.

Следовательно, только номинальные сложные проценты 39,5% годовых при инфляции 2% в месяц обеспечат реальный рост покупательной способности денег 10% годовых в течение 3 лет.

Сравнивая примеры 63 и 64 можно сделать вывод, что корректировка ставки на инфляцию имеет смысл только при невысоких темпах инфляции.

Пример 65. Банковская ставка по депозитам (номинальная доходность) составляет 20% годовых. Темп инфляции 12% годовых. Найти реальную доходность операции сроком 2 года, если: а) проценты простые; б) проценты сложные.

а) По формуле (56) реальная доходность операции равна:

или 5,8% годовых.

б) По формуле (57) реальная доходность операции равна:

или 7,14% годовых.

Рассмотренные в данной главе примеры показывают важность учета инфляции при анализе денежных сумм.