2.2. Обыкновенный аннуитет (рента постнумерандо) Основные формулы и примеры

Обыкновенный аннуитет (рента постнумерандо) – платежи, одинаковой величины (CF), происходят через равные интервалы времени в конце периода (рис. 15).

Для платежей CF одинаковой величины формулы текущей или будущей стоимости сворачиваются, как сумма геометрической прогрессии.

Рис. 15. Поток платежей для обыкновенного аннуитета

I) Платежи CF происходят один раз в конце периода, проценты начисляются один раз за период, т. е. период платежей совпадает с периодом начисления процентов. На практике период может быть равен месяцу, кварталу, полугодию, году.

Текущая стоимость обыкновенного аннуитета (свернем формулу (58))

. (61)

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета (свернем формулу (59))

, (62)

где r – процентная ставка за период начисления; n – число периодов начисления (число платежей); – коэффициент дисконтирования.

Пример 73. Найти текущую и будущую стоимость потока платежей, если в конце каждого года в течение 3 лет на депозит инвестируется по 100 000 руб. под 10% годовых.

Текущая стоимость потока платежей (61):

руб.

Полученное по свернутой формуле значение совпадает с примером 66 (это 3-й способ решения).

Будущая стоимость потока платежей (62):

руб.

Полученное по свернутой формуле значение совпадает с примером 67 (это 3-й способ решения).

Из исходных формул (61) и (62) можно вывести следующее.

Периодический платеж

. (62)

, (63)

Срок операции (количество платежей)

, (64)

. (65)

Пример 74. Банк предоставляет кредит в размере 80 000 руб. на два года под 3,5% в квартал. Определить размер ежеквартального платежа.

Сумма кредита является текущей стоимостью потока платежей, поэтому периодический платеж определяем по формуле (62), n=8 кварталов в двух годах:

руб.

В результате получили, что для возврата кредита в 80 000 руб., выданного под 3,5% в квартал, надо в течение 2 лет в конце каждого квартала выплачивать по 11 638,13 руб. Данные платежи включают возврат основной суммы долга и начисленных процентов.

Пример 75. Определить, сколько надо ежемесячно вносить на депозит, чтобы через 10 месяцев накопить на отпуск 150 000 руб. банковская ставка 9% годовых, начисляется ежемесячно.

Накопленная сумма в 150 000 руб. является будущей стоимостью, следовательно, периодический платеж определяем по формуле (63). Ставка за месяц равна 9%/12=0,75%.

руб.

Если вносить в конце каждого месяца по 14 500,68 руб. на депозит под 9% годовых, с ежемесячным реинвестированием дохода, то через 10 месяцев накопится 150 000 руб.

Анализируя соотношение параметров PVA, CF и r, можно сделать следующие замечания:

– кредит PVA может быть погашен за конечное число лет;

– срок погашения кредита бесконечен, так как платежи CF идут только на выплату процентов, основная сумма долга PVA не уменьшается.

– долг постоянно увеличивается, так как платежей CF не хватает даже на выплату процентов.

Пример 76. Сколько надо сделать ежемесячных платежей по 5000 руб., чтобы отдать долг в размере 100 000 руб., взятый под 2% в месяц.

Долг является текущей стоимостью потока платежей, поэтому количество платежей определяем по формуле (64):

месяцев.

Данную формулу можно рассчитать с помощью Excel, набрав в ячейке:

=LN((1–100 000*0,02/5000)^(–1))/LN(1+0,02).

Получили, что для возврата долга необходимо 25 месяцев выплачивать по 5000 руб. Дробная часть срока означает, что в конце надо сделать еще один 26-й платеж, который меньше 5000 руб.

Найдем заключительный частичный платеж.

На 25-й месяц долг с процентами составляет сумму в размере (9):

руб.

Ежемесячные платежи по 5000 руб. на 25-й месяц стоят (62)

руб.

Следовательно, на 25-й месяц остаток долга по кредиту равен:

164 060,60–160 151,50=3909,10 руб.

Если 26-й частичный платеж будет выплачиваться на месяц позже, то на него начисляются проценты (9):

руб.

График платежей для данного примера показан на рисунке 16.

Рис. 16. Полные платежи и заключительный частичный платеж

Пример 77. Сколько надо сделать ежемесячных платежей по 15 000 руб., чтобы накопить 1 млн. руб., ставка по вкладам 0,6% в месяц.

Известна будущая стоимость, поэтому подставляем данные в формулу (65).

месяцев.

Получили, что для накопления заданной суммы необходимо 56 месяцев вносить по 15 000 руб. Нецелое число месяцев означает, что в конце срока надо сделать еще один частичный.

Найдем заключительный частичный платеж.

На 56-й месяц ежемесячные платежи по 15 000 руб. и начисленные проценты на них составляют сумму (62):

руб.

Следовательно, на 56-й месяц надо добавить:

1 000 000–994 837,03=5162,97 руб.

В результате на 56-й месяц взнос равен

15 000+5162,97=20 162,97 руб.

График платежей на рисунке 17.

Рис. 17. Полные платежи и заключительный частичный платеж

Данный поток платежей позволит накопить 1 млн. руб. за 56 месяцев, с учетом начисления процентов на взносы.

II) Платежи происходят p раз в год, проценты начисляются k раз в год, т. е. период платежей может не совпадать с периодом начисления процентов.

Текущая стоимость обыкновенного аннуитета

. (66)

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета

(67)

где CF – годовой платеж, может вноситься частями (p раз в течение года); r – годовая (номинальная) процентная ставка, начисляемая на взносы k раз в год; n – число лет. Важно также заметить, что – это ставка за период начисления; kn – количество периодов начисления процентов по ставке .

Пример 78. Для данных примера 70 найти текущую и будущую стоимость по свернутым формулам. Поток платежей показан на рисунке 13.

Взносы по 25 000 руб. вносятся ежеквартально (p=4 раза в год), следовательно, годовой платеж равен CF=25 0004=100 000 руб. Срок n=3 года. Проценты r=10%, начисляются k=1 раз в год.

Текущую стоимость находим по формуле (66):

руб.

Будущую стоимость находим по формуле (67):

руб.

Данный способ расчета проще, чем рассмотренный в примере 70.

Пример 79. Найти накопленную сумму, если ежемесячно вносится по 10 000 руб. в течение 5 лет под 18% годовых, начисляемых ежемесячно.

Ежемесячны взносы (p=12) за год составляют CF=10 00012=120 000 руб. Срок n=5 лет. Проценты r=18%, начисляются k=12 раз в год.

Будущую стоимость находим по формуле (67):

Так как период платежей совпадает с периодом начисления процентов (p=k=12), то формула (67) сворачивается в (62):

руб.

Здесь – ставка за месяц, месяцев.

Аналогично можно показать, что при совпадении периодов платежей с периодом начисления процентов, формула текущей стоимости (66) сворачивается в формулу (61).