1.6. Непрерывные ставки Основные понятия и примеры

Непрерывные проценты начисляются исходя из заданной ставки за бесконечно малые интервалы времени (например, в практике можно рассматривать начисление ежедневно или каждый час). В практике финансово–кредитных операций используются очень редко. Большое значение имеют при анализе сложных финансовых потоков: финансово-экономическом анализе хозяйственных процессов, обосновании и выборе инвестиционных решений, финансовом проектировании, анализе и прогнозировании ценовой динамики на рынке ценных бумаг.

Непрерывные проценты начисляются на текущую стоимость (PV) и являются предельным случаем формулы наращения по сложным процентам (14). База для начисления сложных процентов увеличивается непрерывно во времени, поэтому сумма начисляемых процентов непрерывно возрастает:

.

Будущая стоимость (формула наращения)

, (30)

где – коэффициент наращения; – постоянная сила роста (годовая непрерывная ставка), выраженная в долях единицы, характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени; n – количество лет.

Пример 45. Найти будущая стоимость 100 000 руб. за 3 года, если применялись непрерывные проценты 10% годовых.

По формуле (30) получаем

руб.

Сравнивая примеры 13, 20, 45 можно сделать вывод, что наращение по непрерывным процентам приносит больший доход, чем наращение по сложным процентам, так как проценты реинвестируются постоянно.

Текущая стоимость (математическое дисконтирование)

(31)

где – коэффициент дисконтирования.

Пример 46. Оценить текущую стоимость инвестиций, если предполагается через два года накопить 300 000 руб. Сила роста равна 12% годовых.

С помощью формулы (31) получаем

руб.

В сравнении со сложными процентами (пример 15), текущая стоимость по непрерывным процентам получается меньше.

Из исходной формулы (30) можно вывести следующее.

Сила роста

. (32)

Срок операции

. (33)

Пример 47. Определить значение постоянной силы роста, которая позволит 100 000 руб. увеличить до 250 000 руб. за два года.

По формуле (32) значение силы роста равно

или 45,81%.

Полученная сила роста значительно меньше, чем ставка сложных процентов в аналогичном примере 16, что еще раз показывает скорость наращения по непрерывным процентам.

Пример 48. Через сколько лет 1 рубль превратится в 10 рублей, если сила роста равна 20% годовых.

По формуле (33)

лет; 0,513·360=184 дня

Для непрерывных процентов получаем меньший срок 11 лет 184 дня, чем для сложных процентов (пример 18).

В разные периоды разное значение силы роста

(34)

где сила роста начисляется n₁ периодов; сила роста начисляется n₂ периодов и т. д., всего k разных значений силы роста.

Пример 49. Инвестировано 100 000 рублей. Какая сумма будет на счете через шесть лет, если два года начислялось 10% годовых, полтора года 11% годовых, а остальное время 12% годовых. Проценты непрерывные.

По формуле (34) получаем:

руб.

Другие виды переменной силы роста можно найти в работах Е.М. Четыркина, Я.С. Мелкумова.