1. Начисление процентов

1.1. Основные понятия

Любая финансовая операция предполагает согласованность таких факторов, как сумма кредита (цена товара), сроки, способы начисления процентов и погашения основного долга. Часто возникает и необходимость в изменении схемы платежей. Множество влияющих факторов приводит к тому, что результат часто не очевиден. Возникает необходимость в количественном анализе. Знание основных понятий, принципов и методов финансовых вычислений позволяет правильно оценивать оптимальные характеристики финансовых операций, осваивать современные методы финансового анализа.

Объектом дальнейших исследований будет инвестирование денежных средств тем или иным образом и поступление дохода с этих средств. В таких задачах всегда присутствуют три параметра:

1. стоимостные характеристики (размер платежей, долговых обязательств, кредитов);

2. временные данные (даты или сроки платежей, отсрочка платежей);

3. процентные ставки.

При проведении финансовых операций необходимо учитывать, что деньги меняют свою стоимость со временем. Стоимость денег является функцией от времени, т.к. любая денежная сумма в условиях рынка может быть инвестирована с целью получения дохода.

Следовательно, для сравнения или суммирования денежных сумм, полученных в разные сроки, необходимо привести их к одному и тому же моменту времени. В качестве такого момента выбирают или момент начала финансовой операции, или некоторый фиксированный момент времени в будущем (рис. 1).

Дисконтирование – приведение денежной суммы к более раннему моменту времени, например, к начальному моменту времени.

Наращение – приведение денежной суммы к определенному моменту времени в будущем.

Рис. 1. Изменение стоимости денег во времени

Принято различать

• текущую стоимость денег (PV – present value) – приведенная к текущему моменту времени стоимость будущей (или предполагаемой) денежной суммы на момент времени n;

• будущую стоимость денег (FV – future value) – стоимость денежной суммы, измеряемая относительно некоторого момента времени n в будущем.

Фактор времени учитывается с помощью техники процентных вычислений.

Уточним несколько основных понятий:

– одним процентом от числа x называется одна сотая доля числа х;

– r процентов от числа х называется r сотых долей от числа х;

– число х является базой для нахождения процентов.

Следовательно,

r процентов от числа х = (1)

Пример 1. Найти, сколько процентов составляет число y от числа x.

Базой для нахождения процентов является число х. Предположим, что число y составляет r процентов от числа х, подставляем в формулу (1)

.

Следовательно, величина процентов числа у от числа х составляет:

. (2)

Пример 2. Число х увеличилось в 2,5 раза (т. е. число х умножили на 2,5). На сколько процентов увеличилось число x?

Будем считать, что число x увеличилось на число y, которое равно

.

Подставляем в формулу (2)

Число х увеличилось на 150%.

Пример 3. Число х увеличилось на 25%. Во сколько раз увеличилось число х? По формуле (1) получаем:

.

Следовательно, число х увеличилось в 1,25 раза.

Пример 4. Какую часть составляет число х от числа у, если известно, что х меньше у на 25%.

Базой для нахождения процентов является у, с помощью формулы (1) можем получить

.

Число х составляет 0,75 числа у или х составляет 75% от числа у.

Пример 5. В течение первого месяца цена товара х увеличилась на 5%, в течение второго месяца новая цена увеличилась на 20%, а в течение третьего месяца последняя цена товара уменьшилась на 10%. На сколько процентов увеличилась первоначальная цена товара за 3 месяца.

По аналогии с примером 3 получаем, что в конце первого месяца цена товара составила

,

что является новой ценой товара (базой для начисления процентов) в начале второго месяца.

В конце второго месяца цена товара равна

,

это является базой для начисления процентов за третий месяц.

В конце третьего месяца цена товара уменьшилась:

.

Первоначальная цена товара х за три месяца увеличилась на 13,4%.

Пример 6. Налог на добавленную стоимость (НДС) равен 18%. Найти цену товара, который с учетом НДС стоит 5900 руб.

Если х равно цене товара без НДС, то 1,18х равно цене товара с учетом НДС. Следовательно,

1,18 х=5900,

х=5900/1,18=5000 руб.

Цена товара без НДС равна 5000 руб.

Далее будем использовать следующее экономическое понимание процента.

Процент (процентные деньги) – это доход, получаемый кредитором за предоставление денег в долг. Доход начисляется по установленной ставке, с определенной периодичностью (например, раз в год, раз в месяц) и измеряется в денежных единицах. В общем случае доход за весь срок равен:

Доход=FV–PV. (3)

Доходность (ставка доходности) представляет собой процентное изменение стоимости долга за определенный период времени. Рассчитывается как отношение дохода к сумме кредита.

Кредитор – это лицо, предоставляющее деньги в долг на определенный срок под определенную ставку.

Заёмщик – это лицо, берущее деньги в долг на определенный срок под определенную ставку.

Предоставление денег в долг оформляется кредитным соглашением, в котором оговаривается размер кредита, размер ставки и способ её начисления, срок и способ погашения основного долга и процентных платежей. Кредитное соглашение может принимать различные формы: выдача ссуды, ипотечное кредитование, продажа товаров в кредит, внесение денежных средств на депозитный счет в банке, получение векселя, приобретение облигаций, привилегированных акций и т. д.

В зависимости от условий финансовой операции, наращение и дисконтирование могут осуществляться с помощью разных ставок. Рассмотрим далее применяемые на практике схемы начисления процентов.