0. 2.4. Конверсия потоков платежей Основные понятия

Конверсия потоков платежей – это любое изменение в условиях потоков платежей:

– замена потока платежей разовым платежом (выкуп);

– замена разового платежа потоком платежей (рассрочка);

– объединение нескольких потоков платежей в один поток платежей (конверсия);

– замена потока платежей с одними параметрами на поток платежей с другими параметрами (например, изменение количества платежей, размера платежей, периодичности платежей и начисления процентов и т. д.).

Перечисленные изменения не должны приводить к изменению финансовых последствий для каждой из сторон контракта. Общий принцип решения задач на конверсию потоков платежей состоит в составлении уравнения эквивалентности: сумма текущих стоимостей заменяемых потоков платежей, приведенных к одной дате, приравнивается к сумме текущих стоимостей новых потоков платежей, приведенных к той же дате. Из полученного равенства выводится неизвестная величина нового потока платежей. Принципы составления уравнения эквивалентности были рассмотрены в пункте 1.5.

2.5. Планы погашения кредитов Основные схемы и принципы

Существуют различные схемы погашения кредита. Введем следующие общие обозначения.

Пусть D – размер кредита или основная сумма долга.

Расходы по обслуживанию кредита за период или срочные выплаты состоят из двух денежных сумм:

CF_t = D_t + R_t, (87)

где D_t – сумма, которая идет на возврат основной суммы долга; R_t – проценты, начисленные на остаток долга по оговоренной в контракте ставке.

Сумма промежуточных выплат по долгу должна быть равна величине займа, что означает возврат всего займа к концу срока:

,

где n – количество платежей.

I. Погашение кредита равными суммами

Основной долг погашается равными платежами:

. (88)

Проценты R_t начисляются на остаток долга.

Пример 86. Составить план погашения кредита в размере 1 200 000 руб., выплачиваемый равными годовыми платежами. Кредит предоставлен под процентную ставку 20% годовых на 6 лет.

Выплата по долгу равна (88):

руб.,

заполняем (4) столбец таблицы 10.

Каждый год долг уменьшается на величину руб., заполняем столбец (2) таблицы 10.

Таблица 10

Погашение кредита равными суммами

Год	Остаток долга на начало года	Проценты на остаток долга, Rt	Возврат основной суммы долга, Dt	Срочная выплата, CFt=Dt+Rt
(1)	(2)=(2)–(4)	(3)=(2)r	(4)	(5)=(3)+(4)
1	1 200 000	1 200 0000,2= =240 000	200 000	24 000+20 000= =440 000
2	1 200 000– –200 000= =1 000 000	1 000 0000,2= =200 000	200 000	20 000+20 000= =400 000
3	1 000 000– –200 000=800 000	160 000	200 000	360 000
4	600 000	120 000	200 000	320 000
5	400 000	80 000	200 000	280 000
6	200 000	40 000	200 000	240 000
Итого	0	840 000	1 200 000	2 040 000

II. Погашение кредита равными срочными выплатами

Расходы по обслуживанию кредита CF_t одинаковы каждый период и представляют собой периодические платежи обыкновенного аннуитета, где размер кредита D – это текущая стоимость аннуитета (PVA), взятого под r процентов за период. Если период платежей совпадает с периодом начисления процентов, из формулы текущей стоимости обыкновенного аннуитета (61) выводим формулу для срочной выплаты:

(89)

где r – ставка по кредиту за период; n – количество периодов (платежей).

Проценты начисляются на остаток долга.

Пример 87. Для данных примера 86 построить план погашения кредита равными срочными выплатами.

Срочная выплата (затраты за период) (89) равны:

руб.,

вносится в (5) столбец таблицы 11.

Таблица 11

Погашение кредита равными срочными выплатами

Год	Остаток долга на начало года	Проценты на остаток долга, Rt	Возврат основной суммы долга, Dt	Срочная выплата, CFt=Dt+Rt
(1)	(2)=(2)–(4)	(3)=(2)r	(4)=(5)–(3)	(5)
1	1 200 000	1 200 0000,2= =240 000	360 847–240 000= =120 847	360 847
2	1 200 000– –120 847= =1 079 153	1 079 1530,2= =215 830	360 847–215 831= =145 016	360 847
3	1 079 153–145 016= =934 137	934 1370,2=186 827	360 847–186 827= =174 020	360 847
4	760 117	152 023	208 823	360 847
5	551 294	110 259	250 588	360 847
6	300 706	60 141	300 706	360 847
Итого	0	965 081	1 200 000	2 165 081

Процентов в примере 87 начислено больше, чем в примере 86 (итог столбца 3), так как в примере 87 основной долг отдавали медленнее.

III. Формирование погасительного фонда

А) Проценты выплачиваются в конце каждого периода.

Основная сумма долга D возвращается в конце срока.

Размер долга не меняется, следовательно, процентные платежи кредитору постоянны и равны

R_t=Dr, (90)

где r– ставка по кредиту за период.

Так как размер кредита достаточно большой, заёмщик создаёт погасительный фонд – открывает в банке счет. Периодически вкладывает на счет деньги, на эти взносы начисляются проценты по ставке i. К концу срока на счете накапливается основная сумма долга D, которая возвращается кредитору. Если взносы в фонд D_t одинаковой величины, то основная сумма долга D – это будущая стоимость аннуитета (FVA). Если период взносов совпадает с периодом начисления процентов, то из формулы будущей стоимости обыкновенного аннуитета (62) можно определить следующую величину.

Размер вносов в фонд:

, (91)

где i – ставка в фонде за период; n – количество платежей (периодов).

Пример 88. Кредит в размере 1 200 000 руб. возвращается разовым платежом через 6 лет. Проценты по кредиту выплачиваются в конце каждого года по ставке 20% годовых. Построить график платежей заёмщика в погасительный фонд, если ставка в фонде 16% годовых.

Процентные платежи по формуле (90) вносятся во (2) столбец таблицы 12:

R_t=1 200 0000,2=240 000 руб.

Взносы в фонд (91) записываются в (3) столбец:

133 668 руб.

Затраты по обслуживанию долга каждый год одинаковые (87):

CF_t=240 000+133 668=373 668 руб.

На взносы начисляются проценты по ставке i=16% годовых. Процесс накопления в фонде показан в (5) столбце. На накопленную в предыдущем году сумму начисляются проценты, и добавляется следующий взнос.

В результате, к концу 6 года в фонде накопится 1 200 000 руб. (столбец (5)), это кредит, возвращаемый кредитору.

Таблица 12

Формирование погасительного фонда с выплатой процентов

Год	Проценты на остаток долга, Rt	Взносы в фонд, Dt	Срочная выплата, CFt=Dt+Rt	Накопленная в фонде сумма, FVt
(1)	(2)=Dr	(3)	(4)=(2)+(3)	(5)=(5)i+(3)
1	240 000	133 668	240 000+133 668= =373 668	133 668
2	240 000	133 668	373 668	133 668 (1+0,16)+133 668= =288 723
3	240 000	133 668	373 668	288 723 (1+0,16)+133 668= =468 586
4	240 000	133 668	373 668	468 586 (1+0,16)+133 668= =677 228
5	240 000	133 668	373 668	677 228 (1+0,16)+133 668= =919 252
6	240 000	133 668	373 668	919 252(1+0,16)+133 668= =1 200 000
	1 440 000	802 007	2 242 007

Затраты на обслуживание кредита равны 2 242 007 руб. (сумма столбца (4)).

Если бы заёмщик не создавал фонд, затраты были бы равны (4):

D+n R_t= 1 200 000+1 440 000=2 640 000 руб.

Экономия от создания фонда составляет

2 640 000 – 2 242 007 = 397 993 руб.

Б) Проценты выплачиваются в конце срока вместе с основной суммой долга.

Сумма, подлежащая возврату в конце срока достаточно большая (кредит с начисленными процентами). Поэтому заёмщик создаёт погасительный фонд, т.е. открывает в банке счет, и периодически вкладывает на счет деньги. На эти взносы начисляются проценты по ставке i. К концу срока на счете накапливается сумма долга с процентами по кредиту , которая возвращается кредитору. Взносы в фонд составляют все периодические расходы по обслуживанию долга СF_t. Если они одинаковой величины, то сумма долга с процентами по кредиту – это будущая стоимость аннуитета (FVA). Если период взносов совпадает с периодом начисления процентов, то из формулы будущей стоимости обыкновенного аннуитета (62) выводим размер вносов в фонд:

, (92)

где D – размер кредита; r – ставка по кредиту за период; n – количество платежей; i – ставка в фонде.

Пример 89. Для данных примера 88 построить график платежей заёмщика в погасительный фонд, если проценты по кредиту выплачиваются в конце срока вместе с основной суммой долга.

В фонде должна накопиться сумма, подлежащая возврату (9):

руб.

Взносы в фонд (92):

399 130 руб.

Таблица 13

Формирование погасительного фонда без выплаты процентов

Год	Срочная выплата, CFt	Накопленная в фонде сумма, FVt
(1)	(2)	(3)=(3)i+(2)
1	399 130	399 130
2	399 130	399 130 (1+0,16)+399 130=862 121
3	399 130	862 121(1+0,16)+399 130=1 399 190
4	399 130	1 399 190 (1+0,16)+399 130=2 022 191
5	399 130	2 022 191(1+0,16)+399 130=2 744 871
6	399 130	2 744 871(1+0,16)+399 130=3 583 181
Итого	2 394 780

На взносы начисляются проценты по ставке i=16% годовых. Процесс накопления в фонде показан в столбце (3) таблицы 13. На накопленную сумму начисляются проценты и добавляется следующий взнос.

Затраты на обслуживание кредита равны 2 394 780 руб. (сумма столбца (2) в таблице 13).

Экономия от создания фонда

3 583 181–2 394 780=1 188 401 руб.

Последний метод погашения долга потребовал от заёмщика наибольших затрат, так как и долг, и проценты по долгу возвращаются позже, чем в трех предыдущих планах погашения.