1.4. Учётные ставки Основные формулы и примеры

Проценты по учётным ставкам (антисипативным) начисляются на сумму, подлежащую возврату в конце срока (на будущую стоимость FV) и выплачиваются сразу, например, в момент выдачи денег в долг.

Пример 26. Определить какую сумму берёт заёмщик под простую учётную ставку 10% годовых, если через 3 года он должен вернуть 100 000 рублей.

руб.

Вексель – долговая ценная бумага, составленная по строго установленной форме. Содержит ничем не обусловленное обязательство оплатить указанную в нем денежную сумму на определённую дату в будущем в конкретном месте. На вексельную сумму могут начисляться проценты со дня составления векселя или с указанной даты. В этом случае процентная ставка указывается в векселе.

Применение учётных ставок.

1) Учёт векселя – покупка банком векселя у векселедержателя до наступления даты платежа по векселю по цене ниже вексельной суммы.

За учет банк взимает плату в виде процента от вексельной суммы, поэтому выплачивает держателю векселя сумму, указанную в векселе с дисконтом (за минусом процентов). Проценты начисляются по действующей в банке учётной ставке на сумму, подлежащую возврату по векселю, за время, оставшееся до даты погашения. В результате держатель векселя получает деньги раньше срока, но в меньшем размере. Права на вексель переходят к банку. При наступлении даты платежа, банк получает по векселю всю сумму и таким образом реализует дисконт.

Банки принимают к учету первоклассные векселя, содержащие обязательства солидных платежеспособных компаний. Если вексель имеет гарантию крупного банка (банковский аваль), то учитывается по более низкой учетной ставке, чем векселя торговых или промышленных компаний. Размер учётной ставки определяется в договоре между векселедержателем и банком, зависит от качества векселя; срока, оставшегося до погашения; размера процентных ставок по кредитам, предоставляемым банком.

2) При выдаче ссуд под залог векселя. Вексель закладывается векселедержателем на определённый срок с последующим выкупом при погашении ссуды. Ссуда выдаётся на 60%–90% от суммы векселя.

Простая учётная ставка – база для начисления процентов (FV) постоянна во времени, поэтому сумма начисляемых процентов также постоянна. Процесс дисконтирования происходит с постоянной скоростью.

Будущая стоимость (формула наращения)

, (18)

где – коэффициент наращения; d – учётная ставка за период начисления, выраженная в долях единицы; n – количество периодов начисления процентов по ставке d.

Пример 27. Определить, какую сумму необходимо вернуть по векселю, если банк выдал ссуду 190 000 руб. под залог векселя на 2 года под простую учётную ставку 10% годовых.

Воспользуемся формулой (18):

руб.

Текущая стоимость (банковский учёт или приведение по платежу).

PV=FV(1–d· n), (19)

где (1–d·n) – коэффициент дисконтирования.

Следует отметить, что при большом сроке или большом значении учетной ставки, сумма процентов будет превышать сумму, подлежащую возврату в конце срока (dn>1). Учет в этом случае может привести к нулевой или отрицательной величине текущей стоимости PV, что не имеет смысла.

Пример 28. Вексель на сумму 150 000 руб. с датой погашения через 4 года учитывается в банке по простой учётной ставке 25% годовых. Определить, какую сумму получит векселедержатель раньше срока.

По формуле (19) получаем:

PV=150 000(1–0,254)=0 руб.

Владелец векселя в данном случае ничего не получит при учете.

Пример 29. Вексель на сумму 200 000 руб. с датой погашения 18 сентября учитывается в банке 7 августа по простой учётной ставке 12% годовых. Определить, какую сумму получит векселедержатель раньше срока и доход банка от учёта (размер дисконта). Временная база 360 дней.

На рисунке 2 покажем операции, которые необходимо выполнить.

Найдем срок от даты учёта до даты погашения

t=(31–7) дней в августе+18 дней в сентябре=42 дня.

По формуле (19) найдем сумму, которую получит векселедержатель при учёте векселя в банке (или за эту сумму банк выкупит вексель):

руб.

Рис. 2. Учет векселя, если на номинал векселя проценты не начисляются

При наступлении даты платежа по векселю, 18 сентября банк получит по векселю всю сумму 200 000 руб., поэтому доход банка (дисконт) равен:

руб.

Пример 30. Определить простую учётную ставку в банке, если по векселю с суммой 200 000 руб. при учёте за 6 месяцев до погашения было выплачено 190 000 руб.

Подставляем данные в формулу (19):

,

далее выводим учётную ставку

или 10% годовых.

В разные периоды разные ставки

, (20)

где ставка d₁ начисляется n₁ периодов; ставка d₂ начисляется n₂ периодов и т. д.; всего k разных ставок.

Пример 31. По векселю необходимо вернуть 100 000 рублей. Какая сумма была выдана в кредит на четыре года, если применялись простые учётные ставки. Два года – 5% годовых, полгода 6% годовых, а остальное время 8% годовых.

По формуле (20) получаем:

PV=100 000(1–0,052–0,060,5–0,081,5)=75 000 руб.

Годовая простая учётная ставка

d= d_k ·k, (21)

где d_k – учётная ставка за период; k – число периодов в году.

Пример 32. При учете векселя за 3 месяца до погашения в договоре зафиксирована простая учетная ставка 4%. Определить годовую простую учетную ставку банка.

По формуле (21) получаем d=4%4 квартала =16% годовых.

Сложная учётная ставка база для начисления процентов (FV) уменьшается с каждым шагом во времени, поэтому сумма начисляемых процентов постоянно уменьшается. Процесс дисконтирования происходит с замедлением.

Будущая стоимость (формула наращения)

, (22)

где – коэффициент наращения; d – учётная ставка за период начисления, выраженная в долях единицы; n – количество периодов начисления процентов по ставке d.

Пример 33. Определить, какую сумму необходимо вернуть по векселю, если банк выдал ссуду 190 000 руб. под залог векселя на 2 года под сложную учётную ставку 10% годовых.

Воспользуемся формулой (22):

руб.

Сравнивая с примером 27, можно сделать вывод, что в учётных операциях больше одного периода начисления, простая учётная ставка принесёт больший доход банку, чем сложная учётная ставка.

Текущая стоимость (банковский учёт или приведение по платежу)

PV=FV(1–d)ⁿ, (23)

где (1–d)ⁿ – коэффициент дисконтирования.

Пример 34. Вексель на сумму 200 000 руб. с датой погашения 18 сентября учитывается в банке 7 августа по сложной учётной ставке 12% годовых. Определить, какую сумму получит векселедержатель раньше срока и доход банка от учёта (размер дисконта).

Срок от даты учёта до даты погашения

t=(31–7) дней в августе+18 дней в сентябре=42 дня.

По формуле (23) найдем сумму, которую получит векселедержатель при учёте векселя в банке:

руб.

Доход банка

руб.

Сравнивая с примером 29, можно сделать вывод, что в учётных операциях меньше одного периода начисления, простая учётная ставка принесёт меньший доход банку, чем сложная учётная ставка.

Из исходной формулы (22) можно вывести следующее.

Учетная ставка

. (24)

Срок операции

. (25)

Пример 35. Банк применяет для выдачи кредитов сложную учётную ставку. Какой должна быть ставка, чтобы за четыре года долг увеличились в 5 раз?

По формуле (24) будет:

или 33,126% годовых.

Пример 36. На сколько лет выдан кредит, если вместо 1 рубля надо вернуть 10 рублей. Применялась сложная учётная ставка 20% годовых.

По формуле (25):

лет,

0,32·360=115 дней.

Получаем ответ: на 10 лет и 115 дней.

В разные периоды разные ставки

, (26)

где ставка d₁ начисляется n₁ периодов; ставка d₂ начисляется n₂ периодов и т. д., всего k разных ставок.

Пример 37. По векселю необходимо вернуть 100 000 рублей. Какая сумма была выдана в кредит на четыре года, если применялись сложные учётные ставки. Два года – 5% годовых, полгода 6% годовых, а остальное время 8% годовых.

По формуле (26) получаем:

руб.

Доход начисляется несколько раз в год, ставка годовая.

, (27)

где d – годовая (номинальная) учетная ставка; k – число начислений в году; n – количество лет. Сравнивая формулы (22) и (27) можно сделать вывод, что – ставка за период начисления; kn – количество периодов начисления процентов по ставке .

Номинальная учетная ставка – годовая сложная учетная ставка, доход по которой начисляется несколько (k) раз в год.

Эффективная учетная ставка – годовая сложная учетная ставка, доход по которой начисляется один раз в год. Дает тот же финансовый результат, что и начисление процентов k раз в год по номинальной ставке d. Эффективная учетная ставка измеряет реальный доход за год.

, (28)

, (29)

где d – годовая (номинальная) учётная ставка, начисляемая k раз в год; d_k – учётная ставка за период начисления.

Пример 38. Определить, какую сумму необходимо вернуть по векселю, если банк выдал ссуду 190 000 руб. под залог векселя на 2 года под сложную учётную ставку 10% годовых начисляемых: а) каждые полгода; б) ежемесячно.

Используем формулу (27):

а) руб. б) руб.

Сравнивая с примером 33, можно сделать вывод, что чем чаще в течение года начисляются проценты по сложной учётной ставке, тем меньше будущая стоимость.

Пример 39. Банк начисляет 18% годовых ежемесячно. Определить номинальную и эффективную учётные ставки.

Номинальная ставка равна 18% годовых по определению.

Эффективную ставку определяем по формуле (28), так как в условии дана годовая ставка:

или 16,59% реальная доходность за год.

Пример 40. Банк начисляет 5% ежеквартально. Определить номинальную и эффективную учётные ставки.

Номинальная ставка равна r=5%4=20% годовых, так как в году 4 квартала.

Эффективную ставку определяем по формуле (29), так как в условии дана ставка за период начисления:

или 18,55% реальная доходность за год.

Обратим внимание, что по учётной ставке реальная доходность за год меньше, чем показывает номинальная ставка.

На номинал векселя начисляются проценты.

1. Определяется вексельная сумма (подлежащая возврату в конце срока) с помощью формул наращения (4) или (9) по процентным ставкам.

2. Определяется сумма, выплачиваемая при учете векселя по формулам дисконтирования (19) или (23) по учетным ставкам.

Пример 41. Предприятие продало товар в кредит с оформлением простого векселя на 150 млн. руб. Срок векселя 180 дней, простая процентная ставка за кредит 24% годовых. Через 60 дней с момента оформления векселя (за 120 дней до даты погашения) предприятие учло вексель в банке по простой учетной ставке 21% годовых. Рассчитать доход банка и сумму, полученную предприятием.

На рисунке 3 покажем операции, которые необходимо выполнить.

Рис. 3. Учет векселя, если на номинал векселя проценты начисляются

Найдем стоимость векселя через 180 дней (такую сумму получило бы предприятие–продавец, если бы продержало вексель весь срок, однако в результате учета эту сумму получит банк с покупателя товара). Используем формулу (4), так как начисляются простые проценты по кредиту:

руб.

Предприятие–продавец учло вексель в банке через 60 дней. Банк снял проценты в свою пользу по простой учетной ставке за 180–60=120 дней и заплатил за вексель сумму (19):

руб.

Доход (дисконт) банка:

Dб=168 000 000–156 240 000=11 760 000 руб.

Доход предприятия от владения векселя:

Dпр=156 240 000–150 000 000=6 240 000 руб.

Пример 42. Вексель номиналом 100 000 рублей, сроком обращения 1,5 года выписан под сложные проценты 15% годовых. Учтен в банке за 45 дней до срока погашения с применением простой учетной ставки 5% в месяц. Определить доход банка и векселедержателя в результате учета векселя.

Найдем стоимость векселя через 1,5 года, которую заплатят при погашении векселя по формуле сложных процентов (9):

руб.

В результате учета, владелец векселя получит деньги в банке на 45 дней раньше. Учетная ставка известна за месяц, поэтому срок необходимо представить как долю месяца , приняв приближенно 30 дней в месяце. Используем формулу дисконтирования для простой учетной ставки (19):

руб.

Доход (дисконт) банка:

Dб=123 323,76–114 074,48=9 249,28 руб.

Доход векселедержателя от владения векселя:

Dвд=114 074,48–100 000=14 074,48 руб.

С помощью учета владелец векселя имеет возможность получить деньги раньше указанного в векселе срока. Банк получает доход в виде разницы между ценой покупки векселя и ценой погашения векселя.