1.5. Изменение условий платежей Основные понятия и примеры

Конверсия платежей – любое изменение в условиях платежей:

– пролонгирование платежей;

– досрочное погашение платежей;

– изменение размера или периодичности платежей;

– объединение несколько платежей в один (консолидация платежей);

– дробление платежа, погашение в рассрочку и т. д.

Изменения в условиях платежей основываются на принципе финансовой эквивалентности платежей. Если данный принцип не применяется, то одна из сторон контракта терпит убыток, а другая сторона получает прибыль.

Финансово-эквивалентные платежи оказываются равными при приведении их к одной дате. Приведение осуществляется:

– путем дисконтирования к более ранней дате (платежи умножаются на соответствующие применяемой ставке коэффициенты дисконтирования);

– путем наращения к более поздней дате (платежи умножаются на соответствующие применяемой ставке коэффициенты наращения).

Общий метод решения состоит в составлении уравнения эквивалентности. Заменяемые платежи приводятся к одной дате (умножением на коэффициент наращения или дисконтирования) и складываются. Полученная сумма приравнивается к сумме платежей по новым обязательствам, приведенным к той же дате. Из полученного равенства выводится неизвестное, обычно это сумма нового платежа или дата нового платежа.

Рассмотрим на примерах две постановки задачи.

1. Известна дата нового платежа, надо найти сумму нового платежа.

Пример 43. Три платежа 100 000 руб., 200 000 руб. и 300 000 руб. с датами погашения соответственно через 1 год, 3 года и 10 лет заменяются одним платежом (консолидируются) с датой погашения через 5 лет. Определить сумму нового платежа, если при конверсии использовались сложные проценты 10% годовых.

1 способ решения – для составления уравнения эквивалентности приводим все платежи к дате неизвестного платежа.

При решении желательно придерживаться следующих шагов.

1 шаг. Рисуем временную диаграмму (рис. 4).

Рис. 4. Приведение платежей к дате неизвестного платежа

2 шаг. Выписываем коэффициенты наращения и дисконтирования для применяемой ставки. В задаче дана сложная процентная ставка, поэтому из формул (9) и (10) выписываем соответственно:

(1+r)ⁿ – коэффициент наращения;

– коэффициент дисконтирования.

3 шаг. Составляем уравнение эквивалентности, первые два платежа умножаем на коэффициенты наращения, третий платеж умножаем на коэффициент дисконтирования и складываем. В степени коэффициентов записан срок, на который сдвигаем платеж во времени. Полученная сумма заменяемых платежей приравнивается к неизвестному платежу x. Платеж x в данном уравнении не надо наращивать или дисконтировать, так как x относится к дате, к которой приводятся все платежи. В результате получаем следующее уравнение эквивалентности.

4 шаг. Находим неизвестный платеж из составленного уравнения. Сумма консолидированного платежа на дату 5 лет равна:

руб.

2 способ решения – для составления уравнения эквивалентности приводим все платежи к нулю (дисконтируем).

При решении желательно придерживаться следующих шагов.

1 шаг. Рисуем временную диаграмму (рис. 5).

2 шаг. Выписываем коэффициент дисконтирования для применяемой ставки. Для сложной процентной ставки из формулы (10) имеем:

– коэффициент дисконтирования.

3 шаг. Составляем уравнение эквивалентности.

Рис. 5. Приведение платежей к нулю для нахождения суммы платежа

Три платежа умножаем на коэффициенты дисконтирования и складываем. В степени коэффициентов записан срок, на который сдвигаем платеж во времени. Полученная сумма заменяемых платежей приравнивается к неизвестному платежу x, умноженному на коэффициент дисконтирования. В результате получаем следующее уравнение эквивалентности.

4 шаг. Находим неизвестный платеж из составленного уравнения.

Сумма консолидированного платежа на дату 5 лет равна:

руб.

Первый и второй способы решения дали одинаковые суммы консолидированного платежа, так как применялась сложная ставка. Для простых ставок изменение даты, на которую составляется уравнение эквивалентности, приводит к некоторому изменению суммы платежа.

2. Известна сумма нового платежа, надо найти дату нового платежа.

Пример 44. Платежи в размере 15 000 руб., 25 000 руб. и 35 000 руб. должны быть погашены соответственно через 5, 8 и 15 месяцев. Достигнуто соглашение об изменении порядка платежей: через полгода выплачивается 30 000 руб., а позже – 50 000 руб. Определить дату последнего платежа, если использовалась простая учетная ставка 8% годовых.

При решении желательно придерживаться следующих шагов.

1 шаг. Рисуем временную диаграмму (рис. 6).

2 шаг. Выписываем коэффициент дисконтирования для применяемой ставки. Для простой учетной ставки из формулы (19) имеем:

( 1–d·n) – коэффициент дисконтирования.

Рис. 6. Приведение платежей к нулю для нахождения срока платежа

3 шаг. Составляем уравнение эквивалентности, три заменяемых платежа умножаем на коэффициенты дисконтирования и складываем. Два новых платежа умножаем на коэффициенты дисконтирования и складываем. Приравниваем полученные суммы. В результате уравнение эквивалентности имеет вид:

4 шаг. Находим дату нового платежа из составленного уравнения.

лет;

дня.

Получаем, что последний платеж в 50 000 руб. надо сделать через 2 года и 102 дня.