1.2. Простая процентная ставка Основные формулы и примеры

Простые проценты (декурсивные) начисляются исходя из заданной ставки на одну и ту же первоначальную сумму кредита, вне зависимости от накопленного дохода. На практике чаще всего используются в краткосрочных финансовых операциях. База для начисления простых процентов постоянна во времени, поэтому сумма начисляемых процентов также постоянна. Процесс наращения происходит с постоянной скоростью, что можно проследить в примере 7.

Пример 7. Рассмотрим начисление простых процентов, если инвестировано 100 000 рублей на банковский депозит на 3 года под 10% годовых.

Таблица 1

Начисление простых процентов

№ года	Сумма на счете в начале года	Проценты, начисленные в конце года
1	100 000	100 0000,1=10 000
2	110 000	100 0000,1=10 000
3	120 000	100 0000,1=10 000
4	130 000

В конце каждого года инвестор получал процентные платежи в размере 10 000 рублей, вне зависимости от накопленной суммы процентов. Через 3 года накопилось 130 000 рублей. Первоначальный вклад – это текущая стоимость денег PV=100 000 руб. Накопленная сумма – это будущая стоимость денег, которая по таблице 1 составила FV=130 000 руб.

Будущая стоимость (формула наращения)

FV=PV(1+r·n), (4)

где (1+r· n) – коэффициент наращения; r – процентная ставка за период начисления, выраженная в долях единицы; n – количество периодов начисления процентов по ставке r. Например, если r – ставка за месяц, то n – это количество месяцев.

Пример 8. Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счете через три года.

Текущая стоимость денег известна PV=100 000, надо найти будущую стоимость. Чтобы выразить ставку в долях единицы, её надо разделить на 100%, т. е. . Подставляем данные в формулу (4):

FV=100 000(1+0,13)=130 000 руб.

Текущая стоимость (математическое дисконтирование или приведение по вкладу)

, (5)

где – коэффициент дисконтирования.

Пример 9. По окончании второго года на счете находится 132 000 рублей. Определите первоначальную сумму вклада, если начислялось 16% годовых в конце каждого квартала.

Известна будущая стоимость денег FV=132 000 руб. Процентная ставка за период начисления (квартал) равна (делим годовую ставку на 4, так как в году 4 квартала). В формулу подставляем . Число периодов начисления процентов равно 8 кварталов = 4 квартала2 года. Сумма вклада рассчитывается по формуле (5):

руб.

Срок операции t выражен в днях, месяцах, квартала., а ставка r годовая

, (6)

где у – продолжительность года (временная база), выраженная в тех же единицах, что и t.

Пример 10. Инвестировано 100 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счете через три квартала.

Срок операции t=3 квартала, y=4 квартала в году, по формуле (6):

руб.

В разные периоды разные ставки

, (7)

где ставка r₁ начисляется n₁ периодов; ставка r₂ начисляется n₂ периодов и т. д.; всего k разных ставок.

Пример 11. Инвестировано 100 000 рублей. Какая сумма будет на счете через шесть лет, если два года начислялось 10% годовых, полтора года 11% годовых, а остальное время 12% годовых.

По формуле (7) получаем:

FV=100 000(1+0,12+0,111,5+0,122,5)=166 500 руб.

Годовая ставка простых процентов, при начислении процентов несколько раз в год

r= r_k ·k, (8)

где r_k – процентная ставка за период; k – число периодов в году.

Пример 12. По вкладу в банке ежемесячно начисляется 2%.

Годовая ставка по формуле (8) равна r=2%12=24%.