60.Границя числової послідовності та її геометричний зміст. 60.Арифметичні операції над послідовностями та їх границями.

Озн: Число А називають границею числової послідовності , якщо для будь-якого , знайдеться такий номер ,що для усіх членів послідовності з номерами виконується нерівність: . Позначається

61.Арифметичні операції над послідовностями та їх границями. Нехай a_nта Ь_n позначають відповідно n-ні члени послідовностей {а_n}, та {Ь_n), або вони позначають змінні, які пробігають ці по- слідовності. За означенням: 1) добуток а_n* т (де т- дові- льне число); 2) сума а_n+ Ь_n;

3)різниця а_n —Ь_n; 4) добуток а_n* Ь_n; 5) частка a_n/b_n.

62Нескінченно малі та їх властивості.

Озн: Змінна є нескінченно малою, якщо для будь-якого знайдеться таке ,що .

Властивості нескінченно-малих:

1.Алгебраїчна сума обмеженого(скінченого) числа нескінченно малих є нескінченно мала(сума та різниця).

2.Добуток нескінченно малої на постійну або іншу нескінченно малу є нескінченно мала.

3.Частка від ділення нескінченно малої на постійну є нескінченно мала.

63.Нескінченно великі та їх властивості.

Озн: Змінна має назву нескінченно-великої, якщо для будь-якого М>0 знайдеться таке N=N(M), що для всіх n>N буде справджуватися, якщо .

Властивості нескінченно-великих:

1.Добуток нескінченно-великої на постійну, відмінну від 0, є нескінченно-велика.

2.Сума нескінченно-великої і постійної є нескінченно-велика.

3.Частка від ділення нескінченно-великої на постійну є нескінченно-велика.

4.Сума та добуток нескінченно-великих є величина нескінченно-велика.

64.Звязок між нескінченно малими та нескінченно великими. Зв’язок нескінченно малих з границею послідовності.

Теорема: Якщо ф-ція є нескінченно мала величина при , то ф-ція є нескінченно великою при . Та навпаки, якщо ф-ція нескінченно велика при , то ф-ція є величина нескінченно мала.

Теорема: Якщо має при границю, яка дорівнює А, то можна подати у вигляді: де -нескінченно-мала.

Теорема: Якщо можна подати як суму числа А та нескінченно-малої при , то числа А є границя цієї послідовності при , тобто

65.Теорема про одиничні границі числової послідовності. 66.Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

Нехай послідовність за свою границю має число А. Тоді є нескінченно малою послідовністю, так як для будь-якого існує номер N , такий, що для всіх виконується нерівність .

Теорема: про одиничність границі: Збіжна послідовність має тільки одну границю.

Теорема про збіжність збіжної послідовності: Збіжна послідовність обмежена.

67. Граничний перехід у нерівностях.

Теорема1.: Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номеру, задовольняють нерівності , тоді і границя А цієї послідовності задовольняє нерівності .

Наслідок1: Якщо елементи збіжних послідовностей та , починаючи з деякого номеру, задовольняють нерівності , тоді їх границі задовольняють нерівності:

Наслідок2.: Якщо усі елементи збіжної послідовності знаходяться н відрізку то її границя А також знаходиться на цьому відрізку.

68.Монотонні послідовності та ознака збіжності.Монотонні послідовності:

Озн: послідовність називається зростаючою, якщо для усіх ; не зростаючою, якщо (спадаючою.)

Всі такі послідовності об’єднують загальною назвою: монотонні послідовності.