23.Арифметичні вектори (точки) простору r та операції над ними.

Множини усіх плоских та просторових векторів, для яких визначені операції додавання векторів та множення на число, є найпростішими прикладами векторних просторів.

Озн: N-мірним арифметичним вектором(точкою) називається впорядкована сукупність n дійсних чисел, яка записується у вигляді Х=(х1,х2,…,хn)

Поняття n-мірного вектору широко використовується в економіці.

Озн: Сумою двох арифметичних векторів однакової розмірності n називається вектор X+Y=Z, компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонентів векторів X та Y .

Озн: Добутком вектору X на дійсне число називається вектор , компоненти і якого дорівнюють добутку на відповідні компоненти вектору Х, тобто , і=1… n.

24.Аксіоми яким задовольняють лінійні операції над векторами. Означення арифметичного векторного простору.

Лінійні операції над будь-якими векторами задовольняють наступним властивостям (аксіомам)

1.X+Y=Y+X –комутативність суми;

2(X+Y)+Z=X+(Y+Z) –асоціативність суми;

3.a(bX)=(ab)X асоціативність відносно числового множника.

4.a(X+Y)=aX+aY –дистрибутивність відносно суми векторів.

5.(a+b)X=aX+bX дистрибутивність відносно суми числових множників.

6.Існування нуль-вектору такого, що Х+0=Х для будь-якого вектору Х.

7. Існування будь-якого вектору Х протилежного(-Х) такого, що Х+(-Х)=0.

8.1Х=Х для будь-якого вектору Х.

Озн: Множина векторів з дійсними компонентами, для якої визначені операції додавання векторів та множення на число, які б задовольняли восьми властивостям(аксіомам) називається арифметичним векторним простором.

25 .Скалярний добуток двох п-мірних векторів та його властивості…

Озн: Скалярним добутком двох n-мірних векторів та називається число яке дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів.

Властивості скалярного добутку:

1. ХХ 0; ХХ=0 тільки тоді , коли Х=0.

2. XY=YX;

3. (X+Y)Z=XZ+YZ;

4.

26.Кут між двома n-мірними векторами та модуль вектору.

Число має назву модуля(довжини) вектору .

Кут між двома n-мірними векторами можна знайти згідно формули:

Відстань між двома точками можна знайти згідно формули:

27.Лінійна комбінація п-мірних векторів

Озн: Вектор називається лінійною комбінацією векторів векторного простору R, якщо він дорівнює сумі добутків цих векторів на довільні дійсні числа.

Озн: Система векторів векторного простору R називається лінійно-залежною, якщо існують такі числа нерівні одночасно 0, що .

Озн: Система векторів називається лінійно-незалежною, якщо тільки тоді, коли .

Теорема1: якщо система лінійно-залежна, то хоча б один з векторів лінійна виражається через останні.

Теорема2(обернена):Якщо один з векторів системи виражається лінійно через останні, то така система лінійно-залежна.

Озн: Рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно-незалежних векторів системи.

Властивості системи векторів:

1. Якщо серед системи векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

2.Якщо частина системи векторів лінійно-залежна, то і уся система буде лінійно залежна.