71.Границя ф-ції у нескінченності та у точці.

Озн: Число А називається границею ф-ції y=f(x) при х прямуючому до нескінченості, якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа , знайдеться таке додатне число S>0, що для всіх х, таких що , справджується нерівність .

Озн.: Число А називається границею ф-ції y=f(x) при якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа , знайдеться таке додатне число , що для всіх х, які не дорівнюють та задовольняють умові виконується .

72.Гра-ця ф-кції у нескінченності. Гра-ця ф-ції y точці.

Число А називається гра-цею ф-ції у =f(х) при х прямую- чому до нескінченності, якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа ξ>0, знайдеться таке додатне число S>0 (яке залежить від ξ; S=S(ξ), що для всіх х, таких що х|>S, справджує­ться нерівність |f(x)-А|<ξ. Позначається

lim f(х)=А або f(x)→А при х→∞. Гр.-ця функції y

x→∞

точці. Число А називається границею ф-ції f(x) при х—>х₀ (або у точці x₀, якщо для будь-якого, навіть як завгодно ма- лого додатного числа ξ>0, знайдеться таке додатне число δ>0 (залежне від ξ, δ=δ(ξ), що для усіх х, які не дорівнюють х_о та задовольняють умові | х-x_о | <δ виконується |f(x)-A| <ξ. Позначається: limf(х) = A або f(x)→А прих→х₀.

73. Односторонні границі функції. Означення границі не потребує існування функції у самій точці х₀, тому що розгля- дає значення х≠х₀ у деякому околі точки хо. Якщо при пря- муванні х до х_о змінна х приймає тільки значення, які менші (більші) за х₀ і при цьому функція f(x) прямує до деякого чи- сла А, то говорять про односторонні границі функції f(x):

одностороння границя функції f(x) зліва:limf(x),

x→x₀-0

одностороння границя функції f(x) справа: limf(x)

x→x₀+0

(Наприклад:lim1/(x-2)=1/(2+0-2)=1/+0=+∞ lim1/(x-

x→2+0 x→2-0

2)=1/(2-0-2)=1/-0=-∞

В т.x=2 існує розрив другого роду)

74.Арифметичні властивості границі: Теорема (1): Ф-ція не може мати більш ніж одну границю. Теорема (2): Границя алгебраїчної суми деякого числа функцій дорівнює сумі границь цих функцій:lim[f(x)±φ(x)]= А±В

x→x₀(∞)

Теорема (3): Границя добутку деякого числа ф-цій дорівнює добутку границь цих функцій:lim[f(x)*φ(x)]= А*В

x→x₀(∞)

Теорема (4): Границя частки двох ф-цій дорівнює частці границь цих ф-цій (за умовою, що границя дільника не дорівнює нулю): f(x) f(x) A

Lim ------- = -----, B≠0

x→x₀(∞) φ(x) B

Теорема (5): Якщо limf(u)=A, limφ(x)=U_0,то границя

u→u₀ x→x₀

складної функції limf[φ(x)]=A

x→x₀

Теорема (6): Якщо у деякому околі точки х₀ (за достатньо великих х) виконується f(x)<φ(x),тоді limf(x)≤limφ(x)

x→x₀(∞) x→x₀(∞)