- •1.Поняття про визначник. Визначники другого та третього порядку.
- •3.Мінор та алгебраїчне доповнення елемента визначника n-ого порядку.
- •6.Властивості визначника.
- •8.Означення матриць, типи матриць.
- •9.Використання матриць у економіці.
- •10.Операції над матрицями.
- •11.Операція множення матриць та її особливості.
- •12.Обернена матриця та порядок її відшукання (алгоритм).
- •13.Ранг матриці. Теорема про перетворення , які не змінюють ранг матриці.
- •14. Базовий мінор та два засоби знаходження рангу матриці.
- •15. Система m лінійних рівнянь з п невідомими. Основні означення.
- •20.Довільна неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальний та частиний розв’язки.
- •21.Розвязання довільної системи рівнянь методом Гаусса
- •22.Однорідна система лінійних рівнянь та особливості її розв’язку.
- •23.Арифметичні вектори (точки) простору r та операції над ними.
- •24.Аксіоми яким задовольняють лінійні операції над векторами. Означення арифметичного векторного простору.
- •25 .Скалярний добуток двох п-мірних векторів та його властивості…
- •27.Лінійна комбінація п-мірних векторів
- •28.Базис та ранг системи векторів. Розклад вектору по векторам базису…
- •29.Перехід до нового базису:
- •38.Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом…
- •39.Рівняння прямої, яка проходить через задану точку у заданому напрямку…
- •42. Загальне р-ня прямої в r2 та його дослідження.
- •45.Відстань від точки до прямої.
- •47.Загальне рівняння лінії другого порядку. Рівняння кола.
- •48.Еліпс, рівняння еліпсу та характеристична властивість.
- •49.Гіпербола, її рівняння. Асимптоти гіперболи.
- •56.55.Векторне,канонічне та параметричне р-ня прямої у трьомірному просторі просторі.
- •58.Взаємне розміщення площини та прямої.
- •59.Означення числової послідовності. Обмежені та необмежені послідовності.
- •60.Границя числової послідовності та її геометричний зміст. 60.Арифметичні операції над послідовностями та їх границями.
- •62Нескінченно малі та їх властивості.
- •63.Нескінченно великі та їх властивості.
- •64.Звязок між нескінченно малими та нескінченно великими. Зв’язок нескінченно малих з границею послідовності.
- •65.Теорема про одиничні границі числової послідовності. 66.Теорема про обмеженість збіжної послідовності.
- •67. Граничний перехід у нерівностях.
- •69. Поняття функції однієї незалежної змінної. Використання ф-цій в економіці.
- •70.Засоби завдання ф-ції. Клас-ція ф-цій. Основні влас- тивості ф-ції.
- •71.Границя ф-ції у нескінченності та у точці.
- •75.Перша та друга визначні границі.
- •76.Розкриття невизначеностей виду 0/0 8/8.
- •77.Неперервність ф-цій в точці та основні властивості ф-цій, неперервних в точці.
- •78.Точки розриву ф-цій та їх класифікація.
- •79.Неперервність ф-ції на відрізку та властивості ф-цій, неперервних на відрізку. 79.Неперервність основних елементарних ф-цій.
- •81.Задачі, які приводять до поняття похідної. 82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст. Рівняння дотичної.
- •82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст.
- •83.Схема знаходження похідної.
- •84.Правила диференціювання.
- •86.Критичні точки. Означення опуклості, вгнутості, точки перегину.
- •87.Асимптоти графіка функції.
- •90.Похідна складної та неявної ф-ції. Похідна вищих порядків.
- •95.Означення диференціалу функції та його геометричний зміст
81.Задачі, які приводять до поняття похідної. 82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст. Рівняння дотичної.
Традиційно у якості задач, які приводять до поняття похідної, розглядаються наступні:
1)Задача про дотичну;
2)Задача про швидкість руху;
3)Задача про продуктивність праці.
Озн: похідною ф-ції y=f(x) називається границя відношення приросту ф-ції до приросту незалежної змінної при прямуванні останнього до 0(якщо ця границя існує)
Позначається:
Знаходження похідної ф-ції має назву диференціювання цієї ф-ції. Якщо ф-ція у точці х має похідну, то ф-ція має назву диференційованою у цій точці. Ф-ція диференційована в усіх точках проміжку х, називається диференційованою на цьому проміжку.
Теорема: Диференційована на проміжку ф-ція неперервна на цьому проміжку.
Із задачі про дотичну витікає геометричний зміст похідної: похідна є кутовим коефіцієнтом(тангенсом кута нахилу) дотичної, проведеної до кривої y=f(x) у точці , тобто . Тоді рівняння дотичної до кривої y=f(x) у точці прийме вигляд:
Із задачі про швидкість руху витікає механічний зміст похідної: похідна шляху за часом є швидкість точки у момент часу : Розглянемо економічний зміст похідної більш детально. По-перше, із задачі про продуктивність праці витікає, що похідна об’єму виробленої продукції за часом є продуктивність праці у момент часу . По-друге, існує ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва у будемо вважати функцією кількості продукції х, яка виробляється. Нехай - приріст продукції, тоді - приріст витрат виробництва - середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.
Похідна виражає граничні витрати виробництва та характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва(кількості продукції, яка виробляється) х та визначаються не постійними виробничими витратами, а тільки тими, які змінюються(сировина, паливо). Аналогічно можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, гранична корисність… Граничні величини характеризують не стан, а процес зміни економічного об’єкту.
Висновок: Похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об’єкту за часом або відносно іншого досліджуваного фактору.
82.Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст.
Означення: Похідною ф-ції f(x) називається границя відношен- ня приросту ф-ції до приросту незалежної змінної при прямуванні останнього до нуля (якщо ця границя існує):
f(x+∆x)-f(x)
y' =lim∆y/∆x=lim----------------
∆x→0 ∆x→0 ∆x
Із задачі про дотичну витікає геометричний зміст похідної: похідна f'(xо) є кутовим коефіцієнтом (tg кута нахилу) дотичної, проведеної до кривої у=f(x) y точці х0, тобто k=f'(хо). Тоді рівняння дотичної до кривої у =f(х) в точці xo прийме вигляд: у –f(хо)=f '(хо)(х - x0). Із задачі про швидкість руху витікає механічний зміст похідної: похідна шляху за часом S'(to) є швидкість точки у момент часу to :V(to)=S'(t0). Розглянемо економічний зміст похідної більш детально.
По-перше, із задачі про продуктивність праці витікає, що похідна об'єму виробленої продукції за часом U'(t0) є продуктивність праці у момент часу t0.По-друге, існує ще одне поняття, яке ілюструє екон. зміст похідної. Витрати виробництва у будемо вважати ф-цією кількості продукції х, яка виробляється. Нехай ∆х - приріст продукції, тоді ∆у — приріст витрат виробництва та ∆y/∆x – сере- дній приріст витрат виробництва на одиницю продукції. Похідна f'(x)= lim∆y/∆x— виражає граничні витрати виробництва та характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції, яка вироб- ляється) х та визначаються не постійними виробничими витра -тами, а тільки тими, які змінюються (сировина, паливо та ін.). Аналогічно можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність і т. і. Граничні величини характеризують не стан (як сумарну або середню вели- чину), а процес зміни економічного об'єкту.