83.Схема знаходження похідної.

Похідна ф-ції y=f(x) може бути знайдена за наступною схемою:

1) Надаємо аргументу х приріст та знаходимо нарощене значення ф-ції .

2)Знаходимо приріст ф-ції .

3)Складаємо відношення .

4)Знаходимо границю відношення при : .

84.Правила диференціювання.

1. Похідна постійної дорівнює 0.

2.Похідна аргументу дорівнює 1.

3. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа диференційованих ф-цій дорівнює сумі похідних цих ф-цій .

4. Похідна добутку двох диференційованих ф-цій дорівнює сумі добутків похідної першого співмножника на другий та добутку похідної другого співмножника на перший:

.

Наслідок(1): Постійний множник можна винести за знак похідної:

Наслідок(2):

5.Похідна частки: .

85.Означення екстремуму функції однієї змінної. Необхідна та достатня умова екстремуму.

Ф-ція має екстремуми в т. М₀ (х₀;у₀), якщо існує такий окіл цієї т., що для всіх точок М(х;у) з цього околу виконується нерівність f(x₀;y₀) > f(x;y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують називаються критичними.

Необхідна і достатня умови існування екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує  в т. екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0 і df/dy=0.

Необхідна:

Достатня:

AC – B²<0 – НЕ ІСНУЄ

АС – В²=0 – ?

A=²z/x² (M₀)

C=²z/y² (M₀)

B=²z/xy (M₀)

86.Критичні точки. Означення опуклості, вгнутості, точки перегину.

Геометричний зміст похідної - похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у= у точці з абсцисою х.

Опуклість та вгнутість кривої - крива на проміжку назв. опуклою(вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче( вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку. Точка перегину-точка яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої.

87.Асимптоти графіка функції.

Асимптота-пряма назв. асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.

89.Загальна схема дослідження ф-ції та побудови графіка. 1)Вказати область визначення ф-ції; 2)знайти точки розриву та їх характер;3)встановити парні- сть(непарність)і періодичність ф-ції;4)визначити точки пе- ретину графіка ф-ціїї з осями координат;5)знайти асимптоти графіка ф-ції;6)знайти точки екстремуму і обчислити значе- ння ф-ції у цих точках;7)визначити інтеграли зростанні і спадання ф-ції;8)знайти точки перегину, інтервали випук- лості і вигнутості;9)знайти границі значення ф-ції, коли х прямує до граничних точок області визначення. Графік ф-ції будують за характерними точками і лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо. Знаходять проміжні точки для деяких конкретних значень аргументу

90.Похідна складної та неявної ф-ції. Похідна вищих порядків.

Розглянемо похідну, складної ф-ції. Нехай змінна у є ф-ція від змінної u y=f(u), а змінна u, в свою чергу, є ф-ція від незалежної змінної х, тобто задана складна ф-ція .

Теорема: Якщо та - диференційовані ф-ції своїх аргументів, похідна складної ф-ції існує та дорівнює похідній даної ф-ції по проміжному аргументу помножений на похідну самого проміжного аргументу по незалежній змінній х, тобто .

Зауваження: Правило диференціювання складної ф-ції може бути записане таким чином: або

Розглянемо диференціювання неявної ф-ції, яка задана рівнянням . Для знаходження похідної ф-ції у, заданої неявно, треба продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як ф-цію від х, а потім, з отриманого рівняння, знайти похідну .

Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що

94.Логарифмічне диференціювання.Метод знаходження похідної за допомогою попереднього логарифмування має назву логарифмічного диференціювання.Похідна lny=y'/у — називається логарифмічною похідною або відносною швидкістю (темпом) зміни функції. Щоб знайти похідну степенево-показникової функції, достатньо про-диференціїовати її спочатку як степеневу, а потім - як показникову та додати отримані результати ((uⁿ)' =nи^n-1и' та (а^и )' = а^u lnа u').Наприклад:y=x^x ; y' =x*

x^n-1*1+x^xlnx*1 - диференціюємо спочатку як степеневу, потім - як показникoву та додаємо.