13.Ранг матриці. Теорема про перетворення , які не змінюють ранг матриці.

Ранг познач r_A або r(A) назв. найбільший порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. 1) Ранг матр. А не більше ніж найменший з її розмірів r(A) min (m,n). 2) Ранг=0 тоді і тільки тоді коли усі елементи матр.=0 А=0. 3) Для квадрат. матр. n-го порядку r(A) = n тоді і тільки тоді коли матр. А не вироджена.

Ранг матр. не змінюється якщо: 1.Відкинути 0-рядок або стовпчик. 2. Помножити усі елементи рядка (с.) на число яке не =0. 3. Поміняти місцями рядки (с.). 4. Додати до кожного елементу рядка (с.) відповідні елементи іншого рядка (с.) помнож. на деяке число. 5. Транспонувати матр. Перетворення 1-5 назв. елементарними якщо одна матр. одержується з іншої то ці матр. назв. еквівалентними АхвилькаВ

14. Базовий мінор та два засоби знаходження рангу матриці.

Базовим мінором матр. є будь-який відмінний від 0 мінор порядок якого = рангу цієї матр.

Основні методи знаходження рангу матр.: 1. Метод зведення до східцевої матр. За допомогою елементарних перетворень треба одержати зі звичайної матр. східцеві і кількість не 0-вих рядків визнач ранг матриці. 2. Метод обвідних мінорів Мінор М_k+1 порядку k+1який містить у собі М_k порядку k називається обвідним мінором для М_k. Якщо у матр. А існує М_{k , а всі мінори} М_k+1=0 то ранг матр. А буде k= r(A).

15. Система m лінійних рівнянь з п невідомими. Основні означення.

Озн: Системою m лінійних рівнянь з п невідомими називають систему, яка має вигляд:

Сукупність чисел (λ₁, λ₂, λ₃,….. λ_n) – назив. розв’язком відповід. системи лінійних рівнянь, якщо кожне рівняння системи перетвор. на тотожність після підставлення у них чисел ((λ₁, λ₂, λ₃,….. λ_n) невідом. (х₁, х₂, х₃,….. х_n).

Якщо система лінійних рівнянь немає жодного розв’язку то вона назив. несумісною.

Сумісну систему визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок і невизначеною, якщо розв’язків більше одного.

2 системи лінійних рівнянь з однаковим числом невідомих назив. еквівалентними (рівносильними), якщо вони обидві або несумісні або сумісні та мають одні і ті самі розв’язки

Одна система може бути перетворена в іншу рівносильну їй систему за допомогою елементарних перетворень: 1. перестановка місцями двох рівнянь системи. 2. множення обох частин рівняння відмінних від нуля числом. 3. додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння помнож. на деяке число.

16.Дослідження лінійної системи за допомогою теореми Кронекера-Капелі.

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

17.Засоби розв’язання системи m - лінійних рівнянь з n невідомими.

1. теореми Кронекера-Капелі. 2. матричний метод. 3. Метод Крамера. 4.

18.Матричне розв’язання лінійної системи.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебраїчні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебра річних доповнень складають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

19.Розвязання лінійної системи за допомогою визначника(в загальному вигляді) на прикладі системи другого порядку…

Нехай є система, в якій m=n (тобто число рівнянь дорівнює числу невідомих). Тоді матриця коефіцієнтів біля невідомих цієї системи є квадратна, а її визначник називають визначником системи.

Теорема Крамера: Система п лінійних рівнянь з п невідомими, визначник якої відмінний від 0, завжди сумісна та має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами: - Формула Крамера.

де - визначник системи, - визначник, який отримується заміною n–го стовпчика на стовпчик вільних членів.

Можна зробити висновок, що за допомогою визначників можна досліджувати системи лінійних рівнянь, у яких m=n таким чином: якщо не дорівнює 0- система має єдиний розв’язок; =0, то не дорівнює 0- немає розв’язків. =0-безліч розв’язків.

Якщо головний визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n- лінійних рівнянь з n- невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, , ..., .

де - головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначник на стовпчик вільних членів.

За допомогою визнач. можна досліджувати сумісність та визначеність системи лінійних рівнянь m=n. Якщо то система має єдиний розв’язок . Якщо = 0 то існує таке j для якого _j 0