2. Схемы замещения четырехполюсника

Так как четырехполюсник характеризуется тремя независимыми коэф­фи­циентами, то из этого следует, что его простейшая схема замещения должна со­держать три независи­мые элементы. Существует две такие схемы: а) Т об­раз­ная схема или схема звезды, б) Побразная схема или схема треугольника (рис. 135а, б).

Установим соотношения между коэффициентами четырехполюсника A, B, C, D и параметрами элементов схем замещения.

На основании законов Кирхгофа получим для Т-образной схемы (рис. 135а):

Сравнивая полученные выражениями с уравнениями четырехполюсника формы А, находим нужные соотношения:

На основании законов Кирхгофа получим для П-образной схемы (рис. 135б):

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы А, на­ходим нужные соотношения:

Для семитричного четырехполюсника должны выполняться равен­ства:  для Т-образной схемы и  для П-образной схемы.

Переход от Т-образной схемы к П-образной и наоборот выполняется по известным формулам преобразования схемы звезды в схему треугольника и на­оборот.

3. Определение коэффициентов четырехполюсника

Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены расчет­ным или экспери­ментальным путем. Если известна внутренняя структура (схема) четырехполюсника и пара­метры отдельных элементов, то коэффици­енты четы­рехполюсника определяются расчетным путем по одному из двух ме­тодов.

Сущность первого метода состоит в том, что сложная схема четырех­по­люсника путем последовательных преобразований сворачивается к простейшей Т- или П-образной схеме. Коэффициенты четырехполюсника опре­деляются по соответствующим формулам, получен­ным ранее для этих схем.

Пусть требуется определить коэффициенты четырехполюсника, схема ко­торого при­ведена на рис. 136.

В ыполняется первое преобразование: треугольник преобразу­ется в эквива­лентную звезду (рис. 137):

Затем выполняются последовательные преобразования , после чего схема получает стандартный Т-образный вид (рис. 138):

Коэффициенты четырехполюсника находятся по формулам для Т-схемы:

Сущность второго метода заключается в том, что коэффициенты четы­рехполюсника определяются через его входные сопротивления со стороны входных (Z_1X и Z_1K) и выход­ных (Z_2X и Z_2K) выводов в режимах холостого хода и короткого замыкания на противо­полож­ной стороне. Значения этих сопротив­ле­ний могут быть найдены аналитически методом свертки схемы четырехполюс­ника в соответствующем режиме (х.х. или к.з.) относительно его выво­дов.

При питании четырехполюсника со стороны первичных выводов при­ме­няются урав­нения формы А:

U₁ = A·U₂ + B·I₂

I₁ = C·U₂ + D·I₂

В режиме холостого хода на вторичной стороне I_2X = 0, а в режиме корот­кого замыка­ния U_2K = 0. Из уравнений следует:

При питании четырехполюсника со стороны вторичных выводов при­ме­няются урав­нения формы В:

U₂ = D·U₁ + B·I₁,

I₂ = C·U₁ + A·I₁.

В режиме холостого хода на первичной стороне I_1X = 0, а в режиме корот­кого замыка­ния U_1K = 0. Из уравнений следует:

Совместное решение полученных уравнений позволяет установить связь между вход­ными сопротивлениями четырехполюсника в режиме холостого хода и короткого замыкания, но не дает возможности определить его коэффи­циенты:

Для определения коэффициентов четырехполюсника берут любые три из четырех уравнений для входных сопротивлений и дополняют их уравне­нием связи между коэффици­ентами AD BC = 1, после чего решают получен­ную систему из четырех уравнений. В каче­стве примера возьмем уравнения для Z_1X, Z_2X и Z_2K, тогда получим:

, откуда (1)

, откуда (2)

, откуда (3)

(4)

Из уравнений (1), (2) и (3) делаем подстановку в уравнение (4), получим:

, откуда следует

Остальные коэффициенты (B, C, D) получим путем подстановки найден­ного значения А в уравнения (1), (2) и (3).

При извлечении квадратного корня получаются два значения коэффици­ента А и, соот­ветственно, всех остальных коэффициентов, отличающиеся зна­ком (+ или ) или аргументом в 180^о, например ,

Двойственность решения объясняется тем фактом, что входные сопротив­ления любой цепи, в том числе четырехполюсника, не зависят от полярности выводов. С другой стороны, изменения полярности двух выводов четырехпо­люсника (1  1' или 2  2') приводит к из­менению знаков перед всеми его ко­эффициентами. Таким образом, для утверждения знаков перед коэффициен­тами необходимы дополнительные исследования.

Входные комплексные сопротивления четырехполюсника могут быть из­мерены экс­периментально по схеме рис. 139:

П

Комплексное входное сопротивление цепи находится по формуле:

, где U, I,  показания приборов в исследуемой цепи.