3. Разложение периодических несинусоидальных функций u(t), I(t) в гармонический ряд Фурье

После выполнения процедуры аппроксимации и получения математиче­кой формы исследуемой функции u(t) гармонический анализ выполняется по классическим формулам математики. Вначале определяется постоянная состав­ляющая: .

Устанавливается желаемое количество гармонических составляющих

k :=1.. M, где M − номер последней гармоники. Определяются амплитуды синус­ных и косинусных составляющих отдельных гармоник:

, .

Амплитуды и начальные фазы отдельных гармоник определяются в ком­плексной форме: , откуда следует

Um_k := │Um_k│, α_k := arg(Um_k).

Выражение исследуемой функции u(t) в виде гармонического ряда полу­чит окончательный вид:

.

Примечание: пример разложения несинусоидальной функции u(t) в гар­монический ряд Фурье см. в Л.17 (задача 2в).

3. Виды симметрии периодических функций

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидаль­ных функций.

1. Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала ко­ор­динат и удовлетворяет условию (рис. 122).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечет­ных. В раз­ло­жении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Us_k и отсутствуют постоянная составляющая U₀ и косинус­ные составляющие отдельных гармо­ник Uc_k:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегри­ро­вание в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:

.

2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетво­ряет условию (рис. 123).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложе­нии таких функций содержатся только постоянная составляющая U₀ и косинусные состав­ляющие отдельных гармоник Uc_k и отсутствуют синусные со­ставляющие отдельных гармоник Us_к:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегри­ро­вание в формулах достаточно выполнить за половину периода:

, .

3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [u(t)>0] или отрицательной части [u(t)<0] на отрезок времени и удовлетворяет условию (рис. 124):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим­мет­ричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармо­ники (синусные и косинусные составляющие):

.

Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что ко­со­симмет­рич­ная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

Добавим к аргументу функции T/2:

Равенство выполняется при условии U₀= 0, Um₂ = 0, Um₄ = 0,…, что тре­бо­валось доказать.

Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим пра­вилам.

Функция u(t) может обладать одновременно двумя видами симметрии, на­пример, не­четной и косой или четной и косой, но не может быть одновременно нечетной и четной. При разложении конкретной функции в ряд Фурье начало отсчета следует выбрать так, чтобы получить желаемый вид симметрии функ­ции.

Пример. Требуется разложить в ряд Фурье периодическую прямоуголь­ную функ­цию и (рис. 125).

При выбранном начале отсчета (точка 0) функция будет обладать одно­вре­менно двумя видами симметрии (нечетной и косой) и ее гармонический со­став будет иметь вид:

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формуле для нечетной функ­ции:

Тогда ряд Фурье исследуемой функции получит вид: