2. Аппроксимация несинусоидальных функций u(t) I(t)

На практике исследуемая несинусоидальная функция u(t) обычно зада­ется в виде гра­фической диаграммы (графически) (рис. 121) или в виде таблицы ко­ор­динат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выпол­нить гармонический анализ такой функции по приведенным выше урав­нениям, ее необходимо предварительно заменить математиче­ским выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравне­нием, по­лучила название аппроксимации функции.

Т а б л и ц а 1

m	0	1	2	3	…	…	…	…	20
tm	t0	t1	t2	t3	…	…	…	…	t20
um	u0	u1	u2	u3	…	…	…	…	u20

В настоящее время аппроксимация несинусоидальных функций времени u(t) и их последующий гармонический анализ выполняются, как правило, на ЭВМ. Для ма­тематического представле­ния несинусоидальных функций приме­няется кусочная аппрок­симация. Для этого вся функция в ин­тервале одного полного периода разбива­ется на M = 20−30 произвольных участков. Далее от­дельные участки функции аппроксими­руются однотипными уравнениями. Раз­личают следующие виды аппроксимации:

1) кусочно-линейная аппроксимация u1(t) = a + bt − отдельные участки функции аппроксими­руются уравнениями прямой;

2) аппроксимация параболическими сплайнами u2(t) = a + bt + ct² − отдель­ные участки функции аппроксими­руются уравнениями квадратичной па­раболы;

3) аппроксимация кубическими сплайнами u3(t) = a + bt + сt² + dt³ − от­дель­ные участки функции аппроксими­руются уравнениями кубической пара­болы.

Коэффициенты аппроксимации (a, b, с, …) определяются для каждого уча­стка функции через координаты его конечных то­чек, например, для 1-го участка при кусочно-линейнай аппроксимации u(t) = a + bt получим:

; .

Аппроксимация функции выполняется на ЭВМ по стандартным програм­мам. В MathCAD последовательность операций выглядит так:

1) Координаты точек исследуемой функции представляют в виде столбцо­вых матриц:

tn := [t₀ t₁ t₂ t₃ … … … t₂₀]^T,

un := [u₀ u₁ u₂ u₃ … … … u₂₀]^T.

2) Для кусочно-линейнай аппроксимации применяют функцию линейной интерполяции: u1(t) := linterp(tn, un,t).

3) При аппроксимации параболическими или кубическими сплайнами пред­варительно формируют соответствующие сплайны: ps := pspline(tn,un) − параболический сплайн, cs := cspline(tn, un) − кубический сплайн.

Далее формируют уравнения аппроксимации: u2(t) := interp(ps,tn,un,t), u3(t) := interp(cs,tn,un,t).

Следует заметить, что наилучшее качество аппроксимации достигается при аппроксимации кубическими сплайнами.

После проведения процедуры ап­проксимации над исследуемой функцией u(t) можно осуществлять любые ма­тематические операции.