2. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно вклю­ченные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необхо­димо заме­нить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая k-ая ветвь схемы кроме сопротивле­ния (проводи­мости) может содержать источник ЭДС Е_к, источник тока J_к. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис. 33а, б:

Ток ветви Iv_к, напряжение ветви Uv_к = V₁  V₂.

Из потенциального уравнения ветви сле­дуют уравнения Ома для k-ой ветви:

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

Представим полученную систему из «m» уравнений в матричной форме. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

 столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.

 диагональные матрицы соответственно сопротивлений и проводимостей.

;

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид:  первый за­кон Кирхгофа для узлов, − второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через мат­рицы соединений и :

− (n − 1) уравнений по 1-му закону Кирхгофа,

− (m – n +1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа.

Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и “m” неизвестных напряжений, всего 2“m” неизвестных, и непосредственно не мо­жет быть решена. Исключить лишние неизвестные можно методом их замены из уравнений Ома.

Сделаем подстановку в уравнения Кирхгофа напряжений из уравне­ний закона Ома, тогда получим:

 система из “m” уравнений Кирхгофа для токов в матричной форме.

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

Сделаем подстановку в уравнения Кирхгофа токов из уравнений за­кона Ома, тогда получим:

 система из “m” уравнений Кирхгофа для напряжений в матричной форме.

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

3. Контурные уравнения в матричной форме

Вводим понятия контурных токов Ik . Контурные токи замыкаются по контурам-ячейкам графа, именуются по имени хорды, их направление сов­па­дает с направлением хорды. Столбовая матрица контурных токов:

Действительные токи связаны с контурными через матрицу :

Заменим в уравнениях 2-го закона Кирхгофа для токов действительные токи [Iv] на контурные Ik, в результате чего получается система контурных уравнений в матричной форме.:

Введем обозначения:

матрица контурных сопротивле­ний,

 матрица контурных ЭДС.

Тогда система контурных уравнений в обобщенной матрич­ной форме получит вид:

4. Узловые уравнения в матричной форме

Вводим понятие узловых потенциалов Vu. Потенциал последнего n-го узла, для которого отсутствует строка в матрице [A] принимается равным 0. Столбо­вая матрица узловых потенциалов:

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу :

Заменим в уравнениях 1-го закона Кирхгофа , , в резуль­тате чего получается система узловых уравнений в матричной форме:

Введем обозначения:

матрица узловых проводимостей,

 матрица узловых токов.

Тогда система узловых уравнений в обобщенной матрич­ной форме получит вид: