1.Топологические определения схемы

С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические методы рас­чета сложных электрических цепей на основе теории графов и матриц.

Схема сложной электрической цепи (рис. 32а) может быть заменена (представ­лена) направленным графом (рис. 32б) с соблюдением следующих ус­ловий:

1) узлы графа соответствуют узлам схемы;

2) ветви графа соответствуют ветвям схемы;

3) направления ветвей соответствуют направлениям токов в ветвях схемы.

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный под­граф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называ­ется де­ревом графа (на схеме графа дерево обозначается жирной линией). Для кон­кретного графа может быть составлено определенное множество вариантов де­ревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.

Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соеди­нения. Та­ких матриц несколько, для расчета электрических цепей исполь­зу­ются две ос­новные: [A]  матрица соединений «узлы-ветви» и [B] мат­рица соедине­ний «контуры-ветви».

В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: .

Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следую­щими правилами:

1 – ветвь выходит из узла,

1 – ветвь входит в узел,

0 – отсутствие связи с узлом.

Т а б л и ц а 1

№ узла \ № ветви	1	2	3	4	5	6
1	1	1	0	1	0	0
2	1	0	1	0	1	0
3	0	1	1	0	0	1
4	0	0	0	1	1	1

Так как каждая ветвь имеет только один вход (1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого сле­дует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица со­единений [A] − «узлы-ветви» получается из приведенной выше таб­лицы путем вычерки­вания любой строки (например, строки №4):

Размерность матрицы соединений «узлы-ветви» равна , где n1 – число независимых узлов, m – число ветвей.

Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: , контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направ­ление обхода контура принимается по направлению хорды, ко­торая вхо­дит в состав этого контура.

Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь сле­дующими правилами:

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,

1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,

0  ветвь не входит в контур.

Т а б л и ц а 2

№ контура \ № ветви	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	1	1	0
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	1	1

На основе данной таблицы составляется матрица соединений [B]  «кон­туры-ветви»:

Размерность матрицы соединений [B] равна , где – число независимых контуров, m – число ветвей.

Если матрицы соединений и составлены верно, то должно вы­пол­няться условие: .