8. Расчет электрических цепей несинусоидального тока численным методом
В этом параграфе предлагается совершенно новый метод расчета линейных цепей с несинусоидальными источниками энергии, основанный на применении новейших компьютерных технологий. Сущность предлагаемого метода излагается ниже.
1. На первом этапе несинусоидальные по форме ЭДС источников е(t) аппроксимируются кубическими сплайнами, таким образом получают математические выражения этих функций.
2. Для расчетной схемы по законам Кирхгофа составляется система дифференциальных уравнений для мгновенных значений функций.
3. Система дифференциальных уравнений решается численным методом по стандартной программе. В результате интегрирования получаются массивы значений переменных величин, которые затем линейно интерполируются и превращаются в соответствующие функции.
4. На заключительном этапе выполняется необходимая математическая обработка найденных функций: строятся графические диаграммы функций, определяются интегральные параметры (действующие, максимальные, средние, средние по модулю значения, мощность), выполняется гармонический анализ функций (не обязательно).
Все математические операции выполняются по встроенным программам любого пакета (MATLAB, MathCAD и др.).
Предлагаемый метод иллюстрируется на конкретном примере. Все расчеты в выполнены на ЭВМ в MathCAD по стандартным программам.
Пример. Требуется выполнить расчет схемы и определить дйствующие значения токов, напряжений, а также мощности источников и приемников энергии.
1.Аппроксимация функции e(t) кубическими сплайнами в интервале 5 периодов:
Система дифференциальных уравнений Кирхгофа.
3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом
4. Графические диаграммы функций токов
5. Действующие значения напряжений и токов.
6. Мощности источника и приемников энергии.
Вывод: результаты расчета численным методом полностью совпадают с аналогичными результатами расчета гармоническим методом.
8. Измерение действующих значений несинусоидальных напряжений и токов
Для измерения действующих значений напряжений и токов в цепях переменного синусоидального тока применяются различные приборы, отличающиеся по принципу их действия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения действующих значений токов и напряжений проградуированы в действующих значениях измеряемых величин.
Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы электромагнитной и электродинамической систем) реагирует на действующее значение измеряемой величины (I, U) и, следовательно, для их коэффициент пересчета равен единице (кn=1) .
Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (Iср, Uср) или на максимальное (Imax, Umax) значение измеряемой величины, но их показания пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.
Для приборов, реагирующих на среднее значение, коэффициент пересчета равен:
Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пересчета равен:
Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от амплитуд отдельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от амплитуд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого следует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несинусоидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.
Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармоники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:
a)
,
(рис. 127а),
б)
,
(рис. 127б).
Действующие (U), максимальные (Umax) и средние (Uср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V1 – непосредственного измерения, V2 косвенного измерения с реакцией на максимальное значение Umax и V3 косвенного измерения с реакцией на среднее значение Uср) приведены ниже в таблице.
Схема |
U, B |
Umax, B |
Ucp, B |
V1 |
V2 |
V3 |
а) |
71,1 |
90 |
65,8 |
71,1 |
63.6 |
73,0 |
б) |
71,1 |
110 |
61,6 |
71,1 |
77,8 |
68,4 |
Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвенного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая погрешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).