8. Теорема о взаимности

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “m” и “n”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “m”, вызывает в ветви “n” час­тичный ток I , то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “n”, вызовет в ветви “m” такой же частичный ток I (рис. 23) .

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

 для схемы рис. 23а,  для схемы рис. 23б.

Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (G_mn= G_nm), то соответственно равны токи в обеих схемах.

9. Теорема о компенсации

Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E=U) и направленной навстречу току, б) иде­аль­ным источником тока J, равным току в этом элементе (J=I) и направленным со­гласно току I.

Выделим пассивный элемент R_k с током I_k и напряжением U_k из схемы цепи (рис. 24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом R_k навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС (рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируются. Cоставим потен­циальное уравнение между точками “a” и “d” :

, откуда следует , или .

Точки “a” и “d”, как точки равного потенциала, можно закоротить и за­короченный участок “a d” из схемы удалить без нарушения ее режима. В ре­зультате удаления закороченного участка схема получает вид рис. 24в, в кото­рой пассивный элемент R_k заменен идеальным источником ЭДС .

Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом R_k два идеальных источника тока , направленные навстречу друг другу (рис. 25б).

Такое включение источников тока не вызывает изменения режима сложной схемы, так как их действия взаимно компенсируются. С другой сто­роны, ток в ветви “a c” равен нулю ( и эту ветвь можно отклю­чить без нарушения режима остальной части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой пассивный элемент R_k заменен идеаль­ным источником тока J_k=I_k .

10. Теорема о линейных отношениях

Формулировка теоремы: если в произвольной к-ой ветви сложной схемы изменяется ЭДС источника E_k или сопротивление резистора R_k, то пара­метры режима в двух других ветвях (например, 1 и 2, I₁ и I₂, U₁ и U₂, U₁ и I₂, I₁ и U₂ ) изменяются так, что между ними сохраняется линейная зависимость ( и т.д.).

Пусть изменяется ЭДС E_к. В соответствии с принципом наложения ток каждой ветви равен сумме частичных токов от каждого источника в отдельно­сти:

Исключим из уравнений переменную величину E_к путем подстановки:

, что требовалось дока­зать.

Если в схеме изменяется сопротивление резистора , то для дока­за­тельства теоремы о линейных отношениях переменный резистор сле­дует заменить в соответствии с теоремой о компенсации переменной ЭДС и повторить доказательство.