27. Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

ТЕОРЕМА. Ф-ия распределения связана с ф-ей плотности следующим равенством F(x) = Интеграл (от –беск до х) f(x)dx.

ДОК-ВО. F(x)=P(X<x)=P(-беск<X<x)=Интеграл (от –беск до х) f(x)dx. По свойству 2 ф-ии плотности.

28. Математические операции над случайными величинами.

Пусть СВ Х и У заданы след. з-ми распред-я (X-х1-х2-хn; P-p1-p2-pn) и (Y-y1-y2-ym; P-p’1-p’2-p’m).

Две СВ называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если з-н распред-я одной не зависит от того, какие значения приняла другая.

Несколько СВ называются взаимно независимыми, если з-ны распред-я любого кол-ва из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

ОПЕРАЦИИ

1. СВ можно умножать на число – произведением пост. С на СВ Х называется новая СВ Z=СХ, которая принимает свои значения Zk=CХi с вероятностями P(Z=zn)=P(X=xi)

2. СВ можно складывать (вычетать). Суммой 2-х СВ Х и У наз нов СВ Z=X+Y для которой

А) возможные значения равны всевозможным суммам возможных знач-ий СВ Х и У, т.е. Zk=xi+yi; (i=[1;n]; j=[1;m])

Б) соответственные в-ти находятся из условия:

P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*P(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])

Для зависимых:

P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*Px=xi(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично опред разность и произведение СВ (! % нельзя)

29. Числовые характеристики случайных величин.

Параметры, выражающие наиболее важные особенности СВ, называются числовыми характеристиками СВ.

1 группа – хар-тики положения СВ на числовой оси (мат ожидание, мода, медиана)

2 группа – характеристики, оценивающие меру разброса (рассеяния) СВ вокруг среднего (дисперсия, СКО)

30. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный смысл.

Мат ожидание – сумма произведений её возможных значений на соответствующую в-ть.

Пусть СВ Х принимает знач-я х1, х2, хn, в-ти которых соотв равны p1, p2, pn.

Тогда мат ожидание М(Х) СВ Х опред рав-вом М(Х)=х1р1+xn*pn=Сумма(от 1 до n) xi*pi

Вероятностный смысл мат ожидания. Пусть произведено n испытаний в которых СВ Х приняла х1-m1 раз … xk-mk раз, причем m1+m2+mn=1.

Тогда сумма всех принятых Х равна x1m1+x2m2+…xk*mk

Найдем среднюю арифметическую. Хсред=(x1m1+x2m2+…xk*mk)/n

Xсред=x1m1/n+x2m2/n+xk*mk/n=x1*m1/n+x2*m2/n+xk*mk/n;

W – относительная частота w=mk/p

Хсред= x1w1+x2w2+xk*wk=x1p1+x2p2+xk*pk – Мат ожидание

Если число испытаний достаточно велико, то отн частота будет незначительно отличаться от в-ти. Хсред примерно=М(Х)

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ полученного результата таков:Мат ожидание приблизительно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.

31. Свойства математического ожидания.

1. Мат ожидание постоянной равно ей самой M(C) = C. ДОК-ВО. Будем рассматривать пост С как ДСВ, которое имеет одно возможное значение С и примет его с пост. в-тью р=1 => M(C)=C*1=C

2. Пост. множитель можно выносить за знак мат ожидания M(CX)=C*M(X)

ДОК-ВО. Из определения мат ожидания – сумма произведений её возм значений на соотв в-ть.

(X-х1-хn; P-p1-pn) и (CX-cx1-cxn; P-p1-pn)

Мат ожидание M(C)=Cx1p1+…Cxnpn=C(x1p1+…+xnpn)=CM(X)

3. Мат ожидание суммы (разности) 2-х СВ равна сумме (разности) их мат ожиданий M(X+-Y)=M(X)+-M(Y).

ДОК-ВО. Докажем, что M(X+Y)=M(X)+M(Y). Согласно опр мат ожидания и опр суммы 2-х СВ будем иметь M(X+Y)=СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)(xi+yj)*pij= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*pij+СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)yj*pij=СУМ(i=1;n)xi*СУМ(j=1;m)pij+ СУМ(j=1;m)yj*СУМ(i=1;n)pij= СУМ(i=1;n)xi*pi+СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)+M(Y).

ДОК-ВО разности аналогично.

4. Мат ожидание произв 2-х незав СВ равно произведению их мат ожиданий M(XY)=M(X)*M(Y). ДОК-ВО. Из опр мат ожидания и произв СВ M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pij

Т.к. по условию x и y независимые, то Pij=P(X=xi)*P(Y=yj)=pi*pj.

M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pi*pj= СУМ(i=1;n)xi*pi * СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)*M(Y).

5. Если все знач-я СВ увеличить (уменьшить) на нек число С, то мат ожидание увел (умен) на это же число M(X+-C)=M(X)+-C;M(X+C)=M(X)+M(C)=M(X)+C.

6. Мат ожидание отклонения СВ от её мат ожидания равно 0. M(x-M(x))=0.