35. Равномерное непрерывное распределение, его числовые характеристики.

НСВ наз-ся распред-ой по равномерному з-ну на отрезке [a;b], если ф-ия плотности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне этого отрезка, т.е. f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; C, a<=x<=b; 0, x>b).

Найдем С. Согласно свойству f(x) (необоснованный интеграл с бесконечными пределами от ф-ии плотности равен 1) имеем:

ИНТЕГРАЛ (-беск до +беск) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b)Cdx=1 => Cx | a, b=1 => C=1/(b-a)

f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; 1/(b-a), a<=x<=b; 0, x>b).

F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx

1) При x<a, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) 0dx=0

2) При a<=x<=b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до х)1/(b-a)dx=x/(b-a)-a(b-a)

3) При x>b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до b)1/(b-a)dx+ ИНТЕГРАЛ (от b до х)0dx=x/(b-a) | a, b=b/(b-a)-a/(b-a)=1

F(x)=СИСТЕМА(0, x<a; (x-a)/(b-a), a<=x<=b; 1, x>b).

ТЕОРЕМА. Числовые хар-тики НСВ вычисляются по формулам M(X)=(a+b)/2; D(X)=(b-a)^2/12

M(X)=ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx=ИНТЕГРАЛ(от a до b) x*1/(b-a)dx=x^2/2(b-a) | a, b=b^2/2(b-a)-a^2/2(b-a)=[(b-a)*(b+a)]/2(b-a)=(b+a)/2.

D(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*f(x)dx-M^2(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*1/(b-a)dx-[(b+a)/2]^2= x^3/3(b-a) |a,b – (b-a)^2/4=b^3/3(b-a)-a^3/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(b-a)(b^2+ab+a^2)/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2)/12=(b^2-2ab+a^2)/12=(b-a)^2/12.

СКО=(b-a)/2*SQR3

ТЕОРЕМА. В-ть того, что равномерно распр СВ попадет в интервал (c;d) принадлежащий [a;b], вычисляется по формуле P(c<X<d)=(d-c)/(b-a).

P(c<X<d)= ИНТЕГРАЛ(от c до d) 1/(b-a)dx=x/(b-a) |с,d= d/(b-a)-c/(b-a)=(d-c)/(b-a).

36. Показательное распределение, его числовые характеристики.

НСВ называется распределенной по показательному з-ну, если ф-ия плотности этой СВ имеет вид f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0), где лямбда – постоянная + величина.

F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx

1) При х<0 F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х)0dx=0

2) При x>=0 F(x)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до 0)0dx+ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx=1- e^-(лямбда*x).

ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*(e^-(лямбда*x) * (-1/лямбда)) |0,x=e^-(лямбда*x) |0,x = - e^-(лямбда*x)+e^0=- e^-(лямбда*x)+1.

Графики плотности и ф-ии распределения

f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0) f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; 1-e^-(лямбда*x), x>=0)

ГРАФИКИ

ТЕОРЕМА. Для M(X) и D(X) показательного распр-я справедливы рав-ва M(X)=1/лямбда, D(X)=1/лямбда^2

1. Согласно опред-ю M(X)=ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*e^-(лямбда*x)dx=| u=x, du=dx; dv=e^-(лямбда*x)dx, v=(-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)|= лямбда*((-x/лямбда)*e^-(лямбда*x)|0,беск + (1/лямбда)*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) e^-(лямбда*x)dx)= лямбда((-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)) |0, беск = -1/лямбда(0-1)=1/лямбда.

ИНТЕГРАЛ udv=uv- ИНТЕГРАЛ vdu

ИНТЕГРАЛ (от a до b) udv=uv |a, b - ИНТЕГРАЛ(от a до b) vdu

D(X)=1/лямбда^2

D(X)=ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*f(x)dx-M^2(x)= лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx-1/лямбда^2.

Интегрируя 2 раза по частям получим

лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx=2/лямбда^2; D(X)= 2/лямбда^2-1/лямбда^2=1/лямбда^2.

В-ть попадания в интервал (a;b) показательного распределенной СВ вычисляется по формуле P(a<x<b)=e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).

P(a<x<b)=F(b)-F(a)=1- e^-(лямбда*b)-1+ e^-(лямбда*a)= e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).