24. Гипергеометрическое распределение, его числовые характеристики.

Пусть имеется множество из n элементов s из которых обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка объемом r. Число m обладает фиксированным свойством среди выбранных.

Тогда Pn(x=m)=Cs^m*C(n-s)^(r-m)/Cn^r.

НАПР. Всего 20 студентов. Из них 3 сопливых. Вызвано 5. Сколько из них могут быть сопливыми (m). X-0-1-2-3; P-…

M(X)= r*s/n

D(X)=r*(s/(n-1))*(1-s/n)*(1-r/n)

25. Функция распределения f(х), ее свойства.

Ф-ей распределения СВ Х наз-ся такая ф-я F(x), которая определяет в-ть того, что эта СВ Х в результате испытания примет значение меньшее, чем (заранее известная) х. F(x)=P(X<x).

СВОЙСТВА Ф-ИИ.

1. 0<=F(x)<=1. Из определения ф-ии F(x) или в-ти: в-ть есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. F(x2)>= F(x1), если х2>x1. Пусть х2>x1, тогда Р(Х<x2)= Р(Х<x1)+P(x1<=X<x2);

Р(Х<x2)- Р(Х<x1)= P(x1<=X<x2); F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<x2) т.к. в-ть >0

F(x2)>=F(x1)

Поскольку разность >0, то уменьшаемое больше вычитаемого ГРАФИКИ

СЛЕДСТВИЯ из СВ-ВА 2.

Следствие 1. В-ть того, что СВ Х примет значение, заключенное на интервале (a;b), равна приращению ф-ии распред-я на этом интервале. P(a<x<b)=F(b)-F(a).

Следствие 2. В-ть того, что НСВ Х примет одно определенное значение, равна 0.

НАПР, СВ Х задана ф-ей

F(x)=система 0, при х<=-1; x/4+1/4, при -1<x<=3; 1, при х>3. Найти в-ть того, что в результате испытания СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2).

F(2) = 2/4+1/4=3/4

F(0) = 0/4+1/4=1/4

P(0<x<2) = 3/4-1/4=2/4=0,5

СВОЙСТВО 3

Если все возможные значения СВ Х принадлежат (a;b), то F(x)=0, при x<=a, F(x)=1, при x>=b. ДОК-ВО 1) Пусть х1<=a, тогда событие Х<x1 невозможно => в-ть его равна 0.

2) Событие Х<x2 достоверно, т.к. все возможные значения Х меньше х2 => в-ть его=1.

СЛЕДСТВИЕ. Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные соотношения limF(x)=0 (х-> к –беск); limF(x)=1 (x -> к + беск)

26. Плотность распределения вероятностей f(х), ее свойства.

Плотностью распределения в-тей НСВ называется первая производная от ф-ии распределения f(x)=F’(x).

Вероятностный смысл f(x).

f(x)=F’(x)=lim (дельта х -> 0) (F(x+ дельта x)-F(x))/ дельта x. В числителе дроби – в-ть того, что СВ Х попадет в интервал (x+ дельта x; х). Приращение ф-ии к приращению аргумента, при стремлении последнего к «0».

В знаменателе (дельта x) – длина интервала.

Т.о., f(x) отражает в-ть попадания СВ в интервал при сколь угодно малой его длине. f(x) = P(x; x+ дельта x) (дельта x стремится к 0).

СВОЙСТВА f(x).

1. Плотность распр-я – неотрицательная ф-ия: f(x)>=0.

Геометрическая интерпретация свойства. Оно означает, что гр-к ф-ии f(x) лежит либо выше оси абсцисс, либо на ней. Кривая распределения ГРАФИК

2. В-ть того, что СВ примет знач-е, принадлежащее от а до в равна определенному интегралу от ф-ии плотности в-ти, взятому в пределах от а до в.

Р(а<x<b) = Интеграл от а до b f(x) dx.

ДОК-ВО. Из свойств ф-ии распред-я известно, что дельтаР(a<x<b) = F(b)-F(a). По формуле Ньютона-Лейбница известно, что

Интеграл от а до b F’(x)dx= Интеграл от а до b f(x)dx.

Геометрически это свойство означает, что в-ть попадания СВ в интервал (a;b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной ф-ей y=f(x) сверху и прямыми х=а и x=b по обеим сторонам.

НАПР. Задана ф-ия плотности распред-я в-тей f(x)=система 0, при x<=0; 2x, при 0<x<=1; 0, x>1. Найти в-ть того, что в результате испытания НСВ попадет в интервал от 0,5 до 1. Р(0,5;1) - ?

Р(0,5;1)=интеграл (от 0,5 до 1) 2х dx = x^2 | 0,5 и 1 = 1-0,25=0,75.

СВОЙСТВО 3. Несобственный интеграл от ф-ии плотности в пределах от -беск до +беск равен 1. Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx=1.

ДОК-ВО. Предположим, что все значения СВ расположены на интервале (-беск; +беск). Тогда в-ть того, что значение СВ попадет в этот интервал = 1. А это не что иное, как искомый интеграл.

P(-беск<x<+беск)=1= Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx.

Геометрически это значит, что если

ЗАМЕЧАНИЕ. Если все значения СВ сосредоточены на отрезке [a;b], тогда интеграл от ф-ии плотности также = 1. Интеграл ( от а до b) f(x)dx = 1.