6. Совместные события. Сумма совместных событий. Теорема сложения совместных событий.

События А1, А2,…, Аn называются совместными, если появление одного из них не исключает появления всех остальных в одном и том же испытании.

НАПР., метеорологич. прогноз

А: ожидается дождь

В: ожидается ветер

События А и В совместны.

СУММОЙ n совместных событий А1, А2,…, Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2,.., Аn.

ТЕОРЕМА «О сумме совместных событий».

В-ть суммы 2ух совместных событий равна сумме в-тей этих событий минус в-ть их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Док-во Поскольку А и В совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих несовместных событий: А*неВ; неА*В или А*В.

По теореме сложения в-тей несовместных событий

Р(А+В) = Р(неА*В) + Р(А*неВ) + Р(АВ) (1).

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий А*неВ или А*В.

По теореме сложения в-тей несовм. событий имеем Р(А) = Р(А*неВ) + Р(АВ) или

Р(А*неВ) = Р(А) – Р(АВ) (*)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(неА*В) + Р(АВ) или Р(неА*В) = Р(В) – Р(АВ) (**)

Подставив (*) и (**) в (1) получим Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Замечание При использовании полученной формулы следует иметь ввиду, что события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.

- для независимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

- для зависимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В)

РА(В) – условная в-ть события В.

Следствие: В-ть суммы конечного числа совместных событий вычисляется по формуле

Р(А1+А2+…+Аn) = суммаi Р(Ai) + суммаi,j P(AiAj) + суммаi,j,k (Ai,Aj,Ak) - … + (-1) в степени (n-1) * сумма(i, n) P(П от n до i=1 * Ai)

7. Полная группа событий. Теорема о сумме событий, образующих полную группу.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

ДОК-ВО. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а в-ть достоверного события =1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Сравнивая получим P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1.

8. Зависимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Зависимыми называют такие 2 события, при появлении одного из которых вероятность появления другого изменяется.

НАПР. Выборка без возвращения. В ауд 50 студентов, из них 5 сдали на 5ку. Вызывают 1го студента и отправляют его в деканат. Какова в-ть того, что это пятерочник. (5/50). След. (4/49), (3/48).

В-ть Ра(В) наз-ся условной в-тью появления события В при условии, что А уже произошло.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А1, А2, …, Аn наз-ся такое событие, которое предполагает совместное появление всех этих событий А1, А2, Аn.

НАПР., Если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

ТЕОРЕМА «О произведении зависимых событий». В-ть произведения 2х зависимых событий равна произведению в-ти одного из них на условную в-ть другого.

Р(АВ) = Система: Р(А)*Ра(В) и Р(В)*Рb(А)

Док-во: Пусть событию А из n испытаний благоприятствует m исходов. Тогда при появлении А, событию В будет благоприятствовать k<=m исходов. Поэтому совместному появлению события А и В будет благоприятствовать только k исходов.

Р(АВ) = k/n=k/n*m/m=m/n*k/m=P(A)*Pa(B).

СЛЕДСТВИЕ. В-ть совместного появления n событий равна произведению в-ти одного из них на условные в-ти всех остальных.

Р(А1,А2,А3,…,Аn) = Р(А1)*Ра1(А2)*Ра1а2(А3)*…*Ра1а2…а(n-1)(An).