32. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления.

ДИСПЕРСИЕЙ (рассеянием) ДСВ называют мат ожидание квадрата отклонения СВ от её мат ожидания D(X)=M[x-M(x)]^2.

D(X)= [x1-M(x)]^2*p1+[x2-M(x)]^2*p2+[xn-M(x)]^2*pn.

ТЕОРЕМА. ДИСПЕРСИЯ равна разности м/д мат ожиданием квадрата СВ Х и квадратом её мат ожидания D(X)=M(x^2)-M(X)^2.

ДОК-ВО. Мат ожидание M(X) есть пост величина => 2M(X) и M(X)^2 есть также пост величины.

D(X)=M[x-M(x)]^2=M[x^2-2M(X)+M^2(x)]=M(x)^2-2M(x)M(x)+M^2(x)=M(x)^2-2M^2(x)+M^2(x)=M(x)^2-M^2(x).

33. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

1. ДИСП пост величины С = 0. D(C)=0.

ДОК-ВО. По опр дисперсии D(C)=M(C-M(C))^2. Пользуясь первым свойством мат ожидания получим D(C)=M(C-С)^2=M(0)=0.

2. Пост множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат. D(CX)=C^2*D(X).

По опр дисперсии D(CX)=M([Cx-M(CX)]^2)=M([C^2*(x-M(x)]^2)=C^2*M[X-M(X)]=C^2*D(X).

3. Дисперсия суммы (разности) 2ух СВ равна сумме дисперсий этих величин. D(X+-Y)=D(X)+D(Y).

По теореме

D(X+Y)=M[(X+Y)^2]-[M(X+Y)]^2=M[x^2+2xy+y^2]-[M(x)+M(y)]^2=M(x^2)+2M(x)M(y)+M(y^2)-M^2(x)-2M(x)M(y)-M^2(y)=[M(X^2)-M^2(x)] + [M(Y^2)-M^2(y)]=D(X)+D(Y).

4. Дисперсия произведения 2ух независимых СВ X и Y вычисляется по формуле

D(XY)=D(X)*D(Y)+M^2(X)*D(Y)+M^2(Y)*D(X).

СКО СВ Х называют квадратный корень из дисперсии. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ. Т.к. СКО равно кв корню из дисперсии, то размерность СКО совпадает с размерностью Х.

В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность СВ, вычисляют СКО, а не дисперсию.

34. Числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства.

Пусть НСВ Х задана плотностью распределения f(x). Пусть все значения Х принадлежат отрезку от а до b. Разобьем этот интервал на n частичных отрезков длиной дельта х1, дельта х2, дельта хn и выберем в каждом из них произвольную точку xi. Составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их в интервал дельта xi (произведение f(x)*дельта x приближенно равно в-ти попадания Х в интервал дельта х): СУММА xi*f(xi)*дельта xi. Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.

МАТ ОЖИДАНИЕМ НСВ Х, возможные значения которой принадлежат промежутку [a;b] называют определенный интеграл M(x)= ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если все возможные значения СВ принадлежат всей числовой оси, то формула будет

M(x)= ИНТЕГРАЛ(от -беск до +беск) х*f(x)dx.

ДИСПЕРСИЕЙ НСВ Х называют мат ожидание квадрата её отклонения от мат ожидания. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) (x-M(x))^2*f(x)dx, если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от –беск до +беск) (x-M(x))^2*f(x)dx.

Также D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) x^2*f(x)dx –M^2(x)

СКО = SQR ДИСПЕРСИЯ

СВОЙСТВА числовых характеристик НСВ совпадают со свойствами для случая ДСВ