20. Равномерное дискретное распределение, его числовые характеристики.

ДСВ называется распределенной по равномерному з-ну, если она принимает свои возможные значения с пост в-тью: Pn(X=xi)=1/n

НАПР., выпадение разного кол-ва очков на игральном кубике.

ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия равномерно распределенной ДСВ вычисляется по формулам:

М(Х) = Сумма(xi)/n; D(X)=Сумма(x^2)/n-[Сумма(xi)/n]^2.

ДОК-ВО. Пусть СВ Х распределена равномерно => её з-н распред-я имеет вид xi-x1-x2-xn; pi-1/n-1/n-1/n.

M(X) = x1/n+x2/n+xn/n = Сумма(хi)/n

D(X) = M(x^2)-[M(X)]^2 = Сумма(хi^2)/n-[Сумма(хi)/n]^2

21. Биномиальное распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х наз-ся распред-ой по биномиальному з-ну, если проводимые испытания удовлетворяют схеме Бернулли, а в-ть вычисляется по одноименной формуле Pn(X=m) = Cn^m*p^m*q^(n-m); m=[0;n].

X-0-1-2-n; P-q^n-n*p*q^(n-1)-Cn^2*p^2*q^(n-2)-p^n.

Pn(X=1)=Cn^1*p^1*q*(n-1)=p*q^(n-1).

НАПР. Монета брошена 2 раза. З-н распред-я в-тей выпадения герба: Х-0-1-2; Р-0,25-0,5-0,25.

Р2(2)=С2^2*p^2*q^0=(1/2)^2=0,25

P2(1)=C2^1*p*q=2*(1/2)*1/2=0,5

P2(0)=C2^0*q^2=(1/2)^2=0,25

ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия ДСВ, распределенной по биномиал з-ну распред-я, вычисляется по формулам: М(Х) = n*p, D(X) = n*p*q

ДОК-ВО. Пусть СВ Хi – число появлений события А в i-ом испытании (i=[1;n]).

Тогда СВ Х=х1+х2+хn – число появлений события А во всех n испытаниях. Каждая из СВ может иметь один и тот же з-н распределения: xi-0-1; pi-q-p. Тогда М(Хi)=0*q+1*p=p

D(Xi)=M(xi^2)-[M(xi)]^2=0^2*q+1^2*p-p^2 = p-p^2=p(1-p)=pq.

Согласно свойствам мат ожидания и дисперсии

M(X) = M(x1+x2+xn)=M(x1)+M(x2)+M(xn)

D(X) = D(x1+x2+xn)=D(x1)+D(x2)+D(xn)

Т.о. искомые числовые характеристики М(Х) = p+p+p=np; D(X)=pq+pq+pq=npq.

22. Пуассоновское распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х наз-ся распред-ой по з-ну распр-я Пуассона, если проводимые испытания удовлетворяют теореме Пуассона и в-ть вычисляется по формуле Pn(X=m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

X-0-1-m; P-e^(-лямбда)- лямбда*e^(-лямбда)-((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.

НАПР. На телефон поступает в среднем 2 вызова в ед времени. Среднее число вызовов Т (лямбда=2).

Р(Х=0)=2^0*e^-2/0!=1/e^2=0,1353.

P(X=1)=2^1*e^-2/1!=2/e^2.

P(X=2)=2^2*e^-2/2!=2.

M(X)=D(X)= лямбда=np.

ДОК-ВО. Согласно определениям распр-я Пуассона и мат ожидания имеем

М(Х)=Сумма(от 0 до беск) m*(((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда)= Сумма(от 0 до беск) ((лямбда^m)/(m-1)!)*e^-лямбда= лямбда*e^(-лямбда)* Сумма(от 1 до беск)((лямбда^(m-1))/(m-1)!)= лямбда*e^(- лямбда)*e^ лямбда= лямбда.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из курса высшей математики известно, что ряд вида Сумма(от 0 до беск) x^m/m! = 1+x+x^2/2!+…=e^x представляет собой сходящийся на всей числовой оси ряд Маклорена.

НЕТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА D(X)

23. Геометрическое распределение, его числовые характеристики.

ДСВ Х называю распред-ой по геометрическому з-ну распред-я, если она отражает число проведенных испытаний до первого появления события А. Pn(X=m)=p*q^(m-1), m[1;n].

X-1-2-3; P-p-pq-p*q^2.

НАПР. Р=0,7 до первого попадания.

Х-1-2-3; Р-0,7-0,21-0,063.

Р(Х=1)=0,7

Р(Х=2)=qp=0,3*0,7=0,21

P(X=3)=q^2*p=0,3^2*0,7=0,063.

M(X)=1/p; D(X)=q/p^2. ДОК-ВО. По опред-ю геометрического з-на имеем след з-н распред-я:

Xi-1-2-3; Pi-p-pq-p*q^2.

Тогда M(X) = Сумма(от 1 до беск) xi*pi=p+2pq+3p*q^2+…+mp*q^(m-1)=p*Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1).

D(X) = Сумма(от 1 до беск)xi^2*pi-M^2(x)=p+2^2*pq+3^2*p*q^2+…+m^2*p*q^(m-1)-M^2(x) = p* Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) – M^2(x).

Из теории рядов известно, что

Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1) = 1/(1-q)^2; Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) = (1+q)/(1-q)^3.

Тогда М(Х) = p*1/(1-q)^2=1/p; D(X) = p*(1+q)/p^3-1/p^2=q/p^2.