9. Независимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Независимые события – события, при появлении одного из которых в-ть появления другого не меняется.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

НАПР. Если события А1, А2, А3 независимы в совокупности, то независимы события А1 и А2, А1 и А3, А2 и А3, А1 и А2А3, А2 и А1А3, А3 и А1А2.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А1, А2, …, Аn наз-ся такое событие, которое предполагает совместное появление всех этих событий А1, А2, Аn.

ТЕОРЕМА «О произведении независимых событий». В-ть произведения 2ух независимых событий равна произведению в-тей этих событий.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

ДОК-ВО. Т.к. события А и В – независимы, то Ра(В)=Р(В) и Рв(А)=Р(А).

Тогда по ТЕОР. «О в-ти произведения зависимых событий» имеем:

Р(АВ) = Система: Р(А)*Ра(В)=Р(А)*Р(В) и Р(В)*Рв(А)=Р(В)*Р(А).

СЛЕДСТВИЕ. В-ть совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению в-тей этих событий. Р(А1,А2…Аn) = Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn).

10. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий А1, А2, Аn независимых в совокупности. Тогда событие А = А1+А2+…+Аn+А1А2+А1А3+…+Аn-1An+…+A1A2*An будет обозначать следующее: произошло хотя бы одно из событий А1, А2…Аn.

ТЕОРЕМА. В-ть появления хотя бы одного события из событий А1…Аn, независимых в совокупности, равна разнице м/д единицей и произведением в-тей противоположных событий А1|, A2|, An|.

Р(А) = 1 – Р(А1|)*P(A2|)*…*P(An|) или P(A) = 1 – q1*q*qn

ДОК-ВО. Т.к. события А и А1|*A2|*…*An| противоположны, то Р(А)+Р(А1|*A2|*…*An|)=1.

Тогда Р(А) = 1 - Р(А1|*A2|*…*An|). Т.к. события независимы в совокупности, то Р(А) = 1 – Р(A1|)*P(A2|)*P(An|).

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в-ти наступления всех событий А1, А2, Аn совпадают, т.е. Р(А1)=Р(А2)=Р(Аn), тогда формула примет вид Р(А)=1-q^n.

11. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2…, Нn, образующих полную группу. Пусть известны в-ти этих гипотез и условные вероятности Рн1(А), Рн2(А),…, Рнn(A).

Постановка задачи: какова в-ть появления событии А?

ТЕОРЕМА. В-ть события А, которое может наступить лишь при условии появления одной из попарно несовместных гипотез Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу, равна сумме произведений в-тей каждой из этих гипотез на соответствующую условную в-ть события А.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ В-ТИ: Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А), где СУММА Р(Н)=1.

ДОК-ВО. Т.к. событие А наступает при условии наступления одной из гипотез, то появление события А означает осуществление одного из следующих событий Н1А, Н2А, …, НnА.

Тогда по теореме сложения вероятностей: Р(А)=Р(АН1+АН2+АНn)=Р(АН1)+Р(АН2)+Р(АНn).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(Н1А) = Р(Н1)Рн1(А); Р(Н2А) = Р(Н2)Рн2(А); Р(НnА) = Р(Нn)Рнn(А).

Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А).

НАПР. Имеются 2 урны с шарами. В 1ой урне 5 белых и 7 черных шаров, во 2ой – 3 белых и 5 черных. Выбирается урна, из неё извлекается шар. Какова в-ть того, что он белый?

РЕШ-Е. 1. Исп.: сначала выбирается урна, затем извлекается шар. 2. Событие А: шар белый. Гипотеза Н1: выбирается 1ая урна. Гипотеза Н2: выбирается 2ая урна. 3. Р(А) = Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А).

Р(Н1) = 0,5, Р(Н2) = 0,5. Сумма Р(Н) = 1.

Рн1(А) = 5/12; Рн2(А) = 3/8.

Р(А) = 0,5*5/12+0,5*3/8=19/48.

ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

Пусть в результате испытания стало известно, что событие А произошло.

Постановка задачи: определить, как изменились в-ти гипотез Ра(Н1), Ра(Н2), Ра(Нn).

Найдем условную в-ть Ра(Н1).

По т. умножения имеем Р(АНi) = Р(А)Ра(Нi) = Р(Нi)Рнi(А).

Отсюда Ра(Нi) = Р(Нi)Рнi(А)/Р(А). Заменив знаменатель формулой полной в-ти получаем ФОРМУЛУ БАЙЕСА: Ра(Н) = Р(Нi)Рнi(А)/ Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)Рнn(А).

НАПР. Имеются 3 группы студентов. 1-24ст., 2-36, 3-40.

В 1ой группе экзамен сдали на 5ку 6 ст., во второй – 6, в третьей – 4.

Сначала всех студентов собрали, а потом выбрали одного. Выбран отличник. Найти в-ть того, что отличник из 1ой группы.

РЕШ-Е. 1. Испытание: сначала студентов собирают вместе, затем выбирают одного. 2. Событие А: выбран отличник. Гипотеза Н1: студент 1ой гр. Гипотеза Н2: студ 2ой гр. Гипотеза Н3: студ 3ей гр.

3. Ра(Нn) = Р(Нi)Рнi(А)/Р(А).

Р(Н1) = 24/100, Р(Н2) = 36/100, Р(Н3) = 40/100. Ра(Н1) = 6/24, Ра(Н2) = 6/36, Ра(Н3) = 1/10. Ра(Н1) = 0,24*0,25/0,16 = 0,375.