- •Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.
- •Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.
- •Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
- •Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.
- •Совместные события. Сумма совместных событий. Теорема сложения совместных событий.
- •Полная группа событий. Теорема о сумме событий, образующих полную группу.
- •8. Зависимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
- •9. Независимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- •Вероятность появления хотя бы одного события.
- •11. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •12. Схема Бернулли. Теорема Бернулли, следствия.
- •13. Локальная теорема Лапласа. Функция (х), ее свойства.
- •14. Интегральная теорема Лапласа. Функция ф(х), ее свойства.
- •15. Теорема Пуассона, следствия.
- •16. Вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности в независимых испытаниях.
- •17. Вероятность отклонения числа появлений события от произведения (np) в независимых испытаниях.
- •Наивероятнейшее число появления события.
- •19. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей случайной величины, способы задания.
- •20. Равномерное дискретное распределение, его числовые характеристики.
- •21. Биномиальное распределение, его числовые характеристики.
- •22. Пуассоновское распределение, его числовые характеристики.
- •23. Геометрическое распределение, его числовые характеристики.
- •24. Гипергеометрическое распределение, его числовые характеристики.
- •25. Функция распределения f(х), ее свойства.
- •26. Плотность распределения вероятностей f(х), ее свойства.
- •27. Нахождение функции распределения по известной функции плотности.
- •28. Математические операции над случайными величинами.
- •29. Числовые характеристики случайных величин.
- •30. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный смысл.
- •Свойства математического ожидания.
- •32. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления.
- •33. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства.
- •35. Равномерное непрерывное распределение, его числовые характеристики.
- •36. Показательное распределение, его числовые характеристики.
- •37. Нормальное распределение, его числовые характеристики.
- •38. Нормальная кривая, ее свойства. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
- •40. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.
- •41. Неравенство Маркова.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •43. Закон больших чисел в форме Чебышева.
- •44. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки. Способы отбора.
- •45. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
- •46. Эмпирическая функция распределения, ее свойства.
- •47. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •48. Выборочная дисперсия. Формула для вычисления дисперсии.
- •49. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал.
- •50. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении.
- •51. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции.
- •52. Уравнение прямой линии регрессии.
- •53. Свойства выборочного коэффициента корреляции.
- •54. Статистическая гипотеза. Статистический критерий.
- •55. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости.
- •56. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки.
- •57. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения для интервального ряда.
- •58. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения для дискретного ряда.
- •59. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
- •60. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
12. Схема Бернулли. Теорема Бернулли, следствия.
Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А имеет фиксированную в-ть Р.
СХЕМА испытаний Бернулли.
Все n испытаний независимы друг от друга
Каждое испытание имеет 2 исхода (событие произошло или нет)
В-ть наступления события А в каждом испытании постоянна и равна Р. Р(А) = Р. Р(А|)=1-p=q.
ТЕОРЕМА Бернулли. Если проводится n испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, то в-ть того, что событие А произойдет в них ровно m раз, вычисляется по формуле: Pn(m) = Cn^m*p^m*q^(n-m); m=[0;n]. В-ть того, что в n испытаниях событие А произойдет m раз равно…
ДОК-ВО. Пусть событие А в n испытаниях произошло m раз. Тогда наступило событие {ААА…}m, {A|A|A|…A|} (n-m).
В-ть этого события по теореме умножения независимых событий равна p^m*q^(n-m).
Число таких комбинаций, в которых событие А произойдет m раз, вычисляется как число сочетаний Cn^m. Pn(m) = Cn^m*p^m*q^(n-m).
СЛЕДСТВИЯ
В-ть появления хотя бы одного события в испытаниях, удовлетворяющих т. Бернулли, вычисляется по формуле Pn(m>=1) = 1-P(0) = 1-q^n.
В-ть того, что в n испытаниях, удовлетворяющих т. Бернулли, событие А произойдет от m1 до m2 раз, вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2) = СуммаРn(m) = СуммаCn^m*p^m*q^(n-m).
НАПР. В среднем 20% пакетов акций продаются по первоначално заявленной цене. Найти в-ть того, что из 9 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано а) 5 пакетов; б) не более 2ух пакетов.
Дано: n=9, p=0,2, q=0,8. Найти: а) Р9(5); б)Р9(0<=m<=2).
А) Р9(5) = С9^5*p^5*q^(9-5) = (9!/5!*4!)*0,2^5*0,8^4 = 14*0,00032*0,4096=0,0018
Б) Р9(0<=m<=2) = (9!/0!*9!)*0,2^0*0,8^9 + (9!/1!*8!)*0,2^1*0,8^8 + (9!/2!*7!)*0,2^2*0,8^7 = 0,738.
13. Локальная теорема Лапласа. Функция (х), ее свойства.
ТЕОРЕМА. Если в условиях схемы Бернулли число испытаний достаточно велико, а в-ть появления события А в каждом испытании фиксирована 0<p<1, то Pn(m)=(1/SQR(npq))*фи(x), где фи(х)=(1/SQR(2Пи))*е^(-(x^2/2)); x = (m-np)/SQR(npq).
Фи(х) – локальная ф-ия Лапласса.
СВОЙСТВА:
Обл опр ф-ии: х=(-беск;+беск)
Обл значений: (0; 1/SQR(2Пи)]
Ф-ия четная, т.е. фи(-х)=фи(х)
График ф-ии имеет горизонтальную асимптоту – ось ОХ,
т.к. limфи(х)(х стремится к беск.)=0
Гр-к имеет т. экстремума А(0;1/SQR(2Пи)) – т. максимума.
Имеет 2 точки перегиба В(-1; 1/SQR(2Пи*е)); С(1; 1/SQR(2Пи*е))
Интеграл (от –беск до +беск) фи(х)dx = 1.
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-я фи(х) табулирована (есть табл) в приложении №1. Для значений аргумента |x|>=4 ф-ию принято считать равной 0, т.е. фи(|x|>=4) примерно=0.
НАПР. Фи(-13,5)=фи(13,5)=0 (чет. ф-ия).
14. Интегральная теорема Лапласа. Функция ф(х), ее свойства.
Пусть в условиях схемы Бернулли число испытаний велико, а в-ть события А фиксирована, тогда в-ть того, что в n испытаниях событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2) примерно= Ф(х2) – Ф(х1), где Ф(х) – интегральная ф-ия Лапласа.
Ф(х) = (1/SQR(2Пи))*интеграл(от 0 до х) е^-(t^2/2)dt, x2=(m2-np)/SQR(npq); x1=(m1-np)/SQR(npq).
СВОЙСТВА.
Обл опр. х принадлежит (-бекс;+беск)
Обл значений (-0,5;+0,5)
Ф-ия Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)
Ф-ия монотонно возрастает на всей обл. опр.
Гр-к имеет 2 горизонт асимптоты у=+-0,5,
т.к. limФ(х) (х стремится к +-беск) = +-0,5.
Точек экстремума нет. Точка перегиба О(0;0)
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия табулирована (приложение №3). Для значений аргумента |x|>=5, ф-ю принято считать равной 0,5, т.е. Ф(|x|>=5) примерно=0,5.
СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле
Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))
ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.
Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).
СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).
ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En
Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).