3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).

СВОЙСТВА В-ТИ:

1) В-ть достоверного события = 1.

Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0<m<n. Значит 0<P(S)<1.

0<m/n<n / n

0<m/n<1.

Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1.

4. Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.

W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний.

В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после.

УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A).

СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.

5. Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления всех остальных событий в одном и том же испытании.

НАПР., из колоды извлекаем 1 карту. События А, В, С – несовместны. А – появился король, В – появилась дама, С – появился туз.

Два события А и неА называются противоположными, если они являются несовместными и одно из них обязательно произойдет.

НАПР., брошена монета. А – появился герб, В – появилась решка. А и В противоположны.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.

СУММОЙ несовместных событий А1, А2,…,Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении какого-либо одного из событий А1, А2,…, Аn.

НАПР., подбрасывается игральная кость. А – выпала «пятерка»; В – выпало четное число. Событие (А+В) – выпала «пятерка» или четное число.

ТЕОРЕМА «О сумме несовместных событий».

В-ть суммы конечного числа несовместных событий равна сумме в-тей этих событий.

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1) + (А2) + …+ Р(Аn)

Док-во. 1. Докажем теорему для случая 2ух событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания, m1 – число исходов, благоприятных для А; m2 – для В. (m1+m2) – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию А, либо событию В. Следовательно:

Р(А+В) = (m1+m2)/n = m1/n + m2/n.

Т.к. m1/n = Р(А) и m2/n = P(B), то получим:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

2) Методом математической индукции докажем теорему для любого конечного числа событий. Предположим, что для n событий утверждение верно, т.е.

Р(А1+А2+…+Аn) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) и докажем для (n+1) события.

Тогда Р(А1+А2+…+Аn + A(n+1)) = Р[(A1+A2+…+An + A(n+1))] = P(A1+A2+…+An) + P(A(n+1)

С учетом нашего предположения, имеем

Р(А1+А2+…Аn + A(n+1)) = Сумма Р(Аi) (сумма от 1 до n+1).

СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.

СЛЕДСТВИЕ 2. Сумма в-тей противоположных событий равна 1.