- •Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.
- •Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.
- •Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
- •Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.
- •Совместные события. Сумма совместных событий. Теорема сложения совместных событий.
- •Полная группа событий. Теорема о сумме событий, образующих полную группу.
- •8. Зависимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
- •9. Независимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- •Вероятность появления хотя бы одного события.
- •11. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •12. Схема Бернулли. Теорема Бернулли, следствия.
- •13. Локальная теорема Лапласа. Функция (х), ее свойства.
- •14. Интегральная теорема Лапласа. Функция ф(х), ее свойства.
- •15. Теорема Пуассона, следствия.
- •16. Вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности в независимых испытаниях.
- •17. Вероятность отклонения числа появлений события от произведения (np) в независимых испытаниях.
- •Наивероятнейшее число появления события.
- •19. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей случайной величины, способы задания.
- •20. Равномерное дискретное распределение, его числовые характеристики.
- •21. Биномиальное распределение, его числовые характеристики.
- •22. Пуассоновское распределение, его числовые характеристики.
- •23. Геометрическое распределение, его числовые характеристики.
- •24. Гипергеометрическое распределение, его числовые характеристики.
- •25. Функция распределения f(х), ее свойства.
- •26. Плотность распределения вероятностей f(х), ее свойства.
- •27. Нахождение функции распределения по известной функции плотности.
- •28. Математические операции над случайными величинами.
- •29. Числовые характеристики случайных величин.
- •30. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный смысл.
- •Свойства математического ожидания.
- •32. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления.
- •33. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства.
- •35. Равномерное непрерывное распределение, его числовые характеристики.
- •36. Показательное распределение, его числовые характеристики.
- •37. Нормальное распределение, его числовые характеристики.
- •38. Нормальная кривая, ее свойства. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
- •40. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.
- •41. Неравенство Маркова.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •43. Закон больших чисел в форме Чебышева.
- •44. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки. Способы отбора.
- •45. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
- •46. Эмпирическая функция распределения, ее свойства.
- •47. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •48. Выборочная дисперсия. Формула для вычисления дисперсии.
- •49. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал.
- •50. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении.
- •51. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции.
- •52. Уравнение прямой линии регрессии.
- •53. Свойства выборочного коэффициента корреляции.
- •54. Статистическая гипотеза. Статистический критерий.
- •55. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости.
- •56. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки.
- •57. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения для интервального ряда.
- •58. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения для дискретного ряда.
- •59. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
- •60. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
15. Теорема Пуассона, следствия.
Если в условиях схемы Бернулли число испытаний неограниченно возрастает, а в-ть появления события А уменьшается так, что лямбда=np остается величиной постоянной, то
Pn(m) примерно= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
СЛЕДСТВИЯ.
1) В-ть появления хотя бы одного события в испытаниях, удовлетворющих т. Пуассона вычисляется по формуле Pn(m>=1)примерно=1-e^-лямбда.
2) В-ть того, что в n испытаниях, удовлетворяющих т. Пуассона, событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2)=СуммаPn(m) примерно= Сумма((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда).
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия Пуассона табулирована и находится по заданным (m; лямбда) в прил №2.
НАПР. В магазин завезли 500 бут. В-ть того, что при перевозке бутылка окажется разбитой равна 0,002. Найти в-ть того, что магазин получит 3 разбитых бутылки.
Дано: n=500, p=0,002, q=0,998. Найти Р500(3).
РЕШ-Е. лямбда=500*0,002=1 (лямбда<10)
Pn(m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
P500(3) = ((1^3)/3!)*e^-1=0,0617.
16. Вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности в независимых испытаниях.
СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).
ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En
Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).
17. Вероятность отклонения числа появлений события от произведения (np) в независимых испытаниях.
СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле
Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))
ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.
Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).
Наивероятнейшее число появления события.
Наивероятнейшим числом появления события А называется число m0, в-ть которого в n испытаниях максимальна: np-q<=m0<=np+p.
СВОЙСТВА.
Если число (np-q) – дробное, то сущ-ет одно наивероятнейшее число
Если число (np-q) – целое, то сущ-ет 2 наивероятнейших числа m0 и m(0+1)
Если число np – целое, то наивероятнейшее число m0=np
НАПР. На автоматическом станке изготовлены 24 изделия. В-ть того, что изделия высшего сорта=0,6. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта.
ДАНО: n=24, p=0,6, q=0,4.
24*0,6-0,4<=m0<=2*0,6+0,6
14<=m0<=15.
19. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей случайной величины, способы задания.
СВ – это величина, которая в результате испытания примет 1 и только 1 возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Это величина, которая принимает свои возможные значения в зависимости от случая.
СВ обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, а их значения – маленькими x, y, z.
Дискретная СВ (ДСВ) – это такая СВ, множество значений которой конечно или бесконечно, но счетно. НАПР., число появлений герба при бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3… Задача о встрече.
НЕПРЕРЫВНАЯ СВ – это такая СВ, множество значений которой бесконечно. НАПР., расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия; время безотказной работы лампы.
СВ ХАРАКТЕРИЗУЮТ:
её значения;
з-н распред-я в-тей;
числовые характеристики этой СВ (мат ожидание, дисперсия, СКО)
ЗАКОН распределения в-тей – это любое соответствие м/д значениями, которые принимает СВ и вероятностями, с которыми она их принимает.
СПОСОБЫ задания: - табличный; - графический; - аналитический.
1. Табличный (только для ДСВ). Xn – возможные значения ДСВ, Рn – в-ти соответствующих значений ДСВ. События Х=х1…Х=хn образуют полную группу, т.к. они несовместны и единственно возможны => Сумма Pi = 1.
2. Графический. Многоугольником распределения в-тей наз-ся ломаная линия, состоящая из отрезков, соединяющих точки с координатами Хi, Pi.
3. Аналитический: равномерный, биномиальный, геометрический, Пуассона, гипергеометрический.