39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Найдем ф-ию распределения нормально распределенной СВ.

F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до x)f(x)dx= ИНТЕГРАЛ(-беск до x)(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2].

Вводим замену (x-a)/СКО=u => x=a+СКО*u. dx=(a+СКО*u)^2du=СКОdu.

F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до ((x-a)/СКО) ) (1/СКО*SQR 2Пи)*e^-((u^2)/2)*СКОdu=

(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(-беск до 0) e^-((u^2)/2)du+(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(0 до ((x-a)/СКО) ) e^-((u^2)/2)du=1/2+Ф((x-a)/СКО)

Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(альфа<Х<бета)=Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).

ДОК-ВО. P(альфа<Х<бета)=F(бета)-F(альфа)=[1/2+Ф((бета-a)/СКО)]-[1/2+Ф((альфа-a)/СКО)]= Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).

40. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.

Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(|x-M(X)|<E)=2Ф(Е/СКО).

ДОК-ВО. |x-M(X)|<E <=> |x-a|<E <=> -E<x-a<E <=> a-E<x<a+E.

P(|x-M(X)|<E)=P(a-E<x<a+E)=Ф((а+Е-а)/СКО)- Ф((а-Е-а)/СКО)=Ф(Е/СКО)- Ф(-Е/СКО)=2Ф(Е/СКО).

ПРАВИЛО трех сигм.

Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда

P(|x-M(X)|<3сигма)=2Ф(3)примерно=1

1-Ф(3)=0 (0,003). Если СВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от мат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило 3х сигм применяют так: если распред-е изучаемой СВ неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распред-на нормально.

41. Неравенство Маркова.

Если СВ принимает только неотрицательные значения и имеет М(Х), то для любого + числа А верно нер-во: P(x>A)<= M(X)/A.

ДОК-ВО. Расположим знач-я ДСВ в порядке возрастания. Часть значений (x1;xk) будет не более числа А, а другая часть значений от х(k+1) до xn будет больше А.

M(X)=x1p1+…+xk*pk+…+x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn.

Отбросим первые k слагаемых, получим нер-во: x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn<=M(X)

Заменим знач-я СВ на А: А*p(k+1)+…+А*pn<=M(X)

p(k+1)+…+*pn<=M(X)/A

P(x>A)<= M(X)/A

P(x<=A)>=1 - M(X)/A

42. Неравенство Чебышева.

Для любой СВ, имеющей M(X) и D(X), справедливо нер-во Чебышева:

P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2, где a=M(X), E>0.

ДОК-ВО. Применим нер-во Маркова и СВ Х’=(x-a)^2

P((x-a)^2>A)<= M((x-a)^2)/A.

Заменим нер-во (x-a)^2>A равносильным ему нер-вом |x-a|>E, где Е^2=A.

M((x-a)^2)=D(X) с мат ожиданием = а

P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2.

P(|x-a|<=E)>=1-D(X)/E^2

ЗАМЕЧАНИЕ. Для СВ Х, имеющей биномиальный з-н рапред-я с М(Х)=n*p и D(X)=npq, нер-во принимает вид P(|x<np|>E) <=npq/E^2

(|x1-np|) = |x2-np| = Е

np=M(X)

43. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Если D(X) n независимых СВ ограничены одной и той же пост величиной, то при неограниченном увеличении числа n, сред арифметическая СВ сходится по в-ти к сред ариф их M(X) a1, a2, an

lim(n->беск)P( |(x1+x2+…+xn)/n-(a1+a2+…+an)/n| < E)=1.

или СУММАxi(i=1 n)/n p/n->беск СУММАai(i=1;n)/n

Замечание: стремление сред арифметического СВ к сред ариф-му их М(Х) следует понимать не как категор утвержд., а как утвержд., в-ть которого гарантир-ся с в-тью сколь угодно близкой к 1 при n -> беск.

P( |xср-M(xср)|>E)<=C/n*E^2

D(X)<=C, D(X^2)<=C,…, D(xn)<=C