47. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

Пусть необходимо изучить количественный признак ген совокуп-ти. Допустим, удалось установить вид распределения, возникает задача оценки параметров данного распределения.

Статистической оценкой неизвестного параметра распределения называют ф-ию от наблюдаемых СВ

Пусть Q* - стат оценка неизвестного параметра, Q – оцениваемый параметр.

Для того, чтобы оценки давали хорошее приближение к оцениваемым параметрам они должны обладать следующими свойствами:

1. Несмещенная – стат оценка Q*, мат ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т.е. M(Q*)=Q.

Смещенная – оценка, мат ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

2. Эффективная – стат оценка, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую дисперсию.

3. Состоятельная – оценка, которая при n -> к беск стремится по в-ти к оцениваемому параметру. НАПР., если дисперсия несмещенной оценки при n -> к беск стремится к 0, то такая оценка оказывается и состоятельной.

48. Выборочная дисперсия. Формула для вычисления дисперсии.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хnср, вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочная дисперсия Dв – среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х выб ср.

Если все значения x1, x2, xn признака выборки объема n различны, то Dв=(СУММА(i=1, n) (xi-xnср выб)^2)/n.

Если же все значения признака х1, х2, xn имеют соответственно частоты n1, n2 nk причем n1+n2+nk=n, то Dв=(СУММА(i=1, k) ni*(xi-xnсрвыб)^2)/n, т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

КРОМЕ дисперсии для хар-тики рассеяния значений признака выб совокуп-ти вокруг своего сред знач-я пользуются сводной хар-тикой – СКО.

ФОРМУЛА для вычисления дисперсии

ТЕОРЕМА. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: D=(x^2)ср – [xср]^2

ДОК-ВО. Dв=(СУММА(ni*(xi-xср)^2)/n = (СУММА(ni*(xi^2-2xi*xср+(x ср)^2))/n=(СУММАni*(xi^2))/n – 2*x|*(СУММАni*xi)/n+[x|]^2*(СУММА ni)/n=(x^2)| - 2*x|*x| + [x|]^2 = (x^2)ср – [xср]^2

Где x| = (СУММАni*xi)/n; (x^2)| = (СУММАni*xi^2)/n

49. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значит-но отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальная – оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Интервальная оценка – интервал, который покрывает оцениваемый параметр.

Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q-Q*|. Если б>0 и |Q-Q*|<б, то б называется точностью оценки, и оценка тем точнее, чем меньше б.

Надежность оценки Q по Q* (доверительная в-ть) – в-ть гамма, с которой осуществляется нер-во |Q-Q*|<б. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в кач-ве гамма берут число, близкое к 1. Наболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0.999.

Пусть в-ть того, что |Q-Q*|<б, равна гамма. P[|Q-Q*|<б] = гамма.

Заменим нер-во |Q-Q*|<б равносильным ему нер-вом –б<Q-Q*<+б, или Q*–б<Q<Q*+б.

Имеем P[Q*–б<Q<Q*+б]=гамма. Это соотношение следует понимать так: в-ть того, что интервал (Q*–б; Q*+б) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна гамма.

Доверительным называют интервал (Q*–б; Q*+б), который покрывает неизвестный параметр с заданной в-тью гамма.