6.4. Скалярная теория дифракции Уравнение Гельмгольца

Зависимость между возмущением точки P, ее координатами (x, y, z) и временем t, выраженная в дифференциальной форме, называется волновым уравнением.

Для его получения следует найти частные производные второго порядка от возмущения по времени t и координате x и сравнить их между собой:

(6.18)

Применив обозначение оператора Лапласа, запишем скалярное волновое уравнение в виде

(6.19)

В большинстве физико-оптических явлений частота колебаний остается неизменной ( = const), поэтому выражение при расчетах обычно опускают. В таком случае волновое уравнение для комплексной амплитуды предельно упрощается:

(6.20)

Волновое уравнение в виде выражения (6.20) называется уравнением Гельмгольца. Этому уравнению должна подчиняться комплексная амплитуда любого монохроматического возмущения, распространяющегося в свободном пространстве.

Теорема Грина

Учтем, что в соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля волновой фронт распространяется от источника излучения во все стороны и вторичные источники образуются во всем объеме, окружающем рассматриваемую точку (см. рис. 6.5, a).

Таким образом, возмущение среды в точке x_i будет определяться суммарным действием колебаний, исходящих из каждой точки объема, с учетом их амплитуд и фаз. Однако даже если точно известны распределения амплитуд и фаз вторичных источников, интегрирование по объему даже простейшего вида представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Поэтому необходимо эквивалентно заменить действие объема, в котором находится рассматриваемая точка, действием поверхности, окружающей этот объем. Это позволит перейти от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности. Такой переход возможен с помощью теоремы Грина, которая формулируется следующим образом.

Пусть U(x) и G(x) — две произвольные комплексные функции координат, а S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Если функции U и G, их первые и вторые производные однозначны и непрерывны внутри объема, ограниченного поверхностью S, и на самой этой поверхности, то

(6.21)

где — частная производная в каждой точке поверхности S, взятая по направлению внешней нормали к этой поверхности.

Теорема Грина является основным звеном теории дифракции. Ее суть состоит в следующем.

Полагаем, что функция U(x), выражающая возмущение светового поля в каждой точке поверхности S, известна. Если для той же точки мы сможем подобрать вспомогательную функцию G(x), обладающую перечисленными выше свойствами, то по теореме Грина можно провести эквивалентную замену интеграла по объему интегралом по поверхности.

Замена объемного интеграла поверхностным дает огромную экономию вычислительных ресурсов. Поэтому включение в расчеты некоей вспомогательной функции, не имеющей прямого физического смысла, представляется вполне оправданным.

Выбор функции Грина G и замкнутой поверхности S существенно влияет на конечный результат. В различных курсах по физической оптике приводятся конечные формулы, полученные при различных значениях этой функции.

Для выяснения сходства и различий этих формул проведем их дальнейший анализ.