7.10. Системы дифракционного качества с постоянным пропусканием по площади зрачка

Формула (7.69) позволяет наглядно представить геометрический образ для ОПФ объектива (см. рис. 7.10). Используем этот результат для получения аналитического выражения ОПФ безаберрационных систем. При рассмотрении оптических систем высокого качества часто полагают, что их остаточными оптическими искажениями (аберрациями) можно пренебречь. В этом случае основные искажения изображения происходят из-за дифракции. Именно такие оптические системы называются системами дифракционного качества.

Если предположить, что пропускание по площади зрачка постоянно, то для систем дифракционного качества зрачковая функция будет действительной и, как следует из формулы (7.47), . Следовательно, в выражении (7.69) функцию P(u, ) можно вынести за знак интеграла:

(7.70)

Таким образом, значение оптической передаточной функции для безаберрационной системы сводится к значению функции передачи модуляции. Это значение равно отношению площади области G, зависящей от пространственной частоты, к площади зрачка G.

Площадь пересечения двух одинаковых кругов с известными значениями радиусов легко подсчитать.

Из рассмотрения рис. 7.10, б следует, что если  — угол, образованный радиусом, соединяющим точку А пересечения дуг двух окружностей с центром О одной из них, то AB = r sin  и BO = r cos .

Площадь сектора, образованного углом , равна S₁ = r², площадь треугольника ABO равна

(7.71)

Площадь затемненной на рис. 7.10, б области перекрытия кругов

T₀ = 4 (S₁ – S₂) = 2r²,

а отношение ее к площади круга

(7.72)

Сдвиг одного круга относительно другого равен OO  = 2r cos , максимальное его значение, при котором область перекрытия кругов исчезает, равно диаметру D = 2r, т. е. относительный сдвиг, изменяющийся от единицы до нуля, составляет

(7.73)

Наибольший сдвиг зрачка, связанный с нахождением автокорелляционной функции, является важной характеристикой: он определяет наибольшую предельную пространственную частоту ν_lim, пропускаемую оптической системой. При еще больших частотах коэффициент передачи модуляции системы становится равным нулю.

Полагая u₀ = D (D — диаметр зрачка оптической системы), получаем D = f'ν_lim. Отсюда

(7.74)

где ν_lim выражается числом периодов на единицу длины (например, 1/мм).

Отметим, что для большинства оптических систем соотношение D/f  можно заменить на 2sin, где  — апертурный угол в пространстве изображений. В этом случае уравнение (7.74) принимает вид

(7.75)

Для представления кривой функции передачи модуляции безаберрационного объектива удобно выразить пространственную частоту в относительных единицах, приняв предельное ее значение за единицу.

Частота в относительных единицах R = /_lim связана с  очевидным соотношением

(7.76)

а из (7.73) следует, что R = cos .

Таким образом,  = arccos R и уравнение функции передачи модуляции оптической системы дифракционного качества после подстановки этого значения  в (7.72) примет вид

(7.77)

График этой функции (рис. 7.11) в области низких частот представляет собой практически прямую линию и лишь при T() < 0,4 искривляется по направлению к точке R = 1.

Рис. 7.11. Функция передачи модуляции

Функция T() имеет ключевое значение для расчета пространственного распределения интенсивности, поскольку определяет уменьшение амплитуды всех составляющих разложения Фурье.