7.9. Оптическая передаточная функция как автокорреляция зрачковой функции

Обратимся к рис. 7.8, где показано образование пятна рассеяния вокруг точки M , которая является геометрическим изображением сопряженной точки M объекта. Ясно, что рассмотрение дифракции на апертуре оптической системы принципиально не изменится, если оптическую ось системы заменить линией, соединяющей точки M и M', т. е. считать, что оптическая ось направлена по оси O'M' и что точка M' — начало оси координат x'. Координаты, отсчитываемые от точки M', будем обозначать , поэтому формулы (7.52) и (7.53) примут следующий вид:

(7.54)

(7.55)

Для двумерного случая эти зависимости можно записать так:

(7.56)

(7.57)

Отметим, что по своему физическому смыслу распределение интенсивности точки (или линии) в изображении описывается функцией рассеяния точки (линии). Таким образом, распределение световой волны по формуле (7.57) эквивалентно амплитудной функции рассеяния точки. Аналогично для одномерного случая (см. формулу (7.55)) эквивалентна функции рассеяния линии для рассматриваемого одномерного случая.

Амплитудная функция рассеяния связана со знакомой нам (см. формулу (7.3)) функцией рассеяния точки A(x, y), выражающей распределение интенсивности следующим соотношением:

(7.58)

Аналогично для функции рассеяния линии (см. формулу (7.4)) можно записать

(7.59)

Из определения оптической передаточной функции ее модуль для случая симметричной функции (см. формулу (7.46)) составляет

_(7.60)

Интеграл в квадратных скобках равен U^*() по известному свойству фурье-преобразования от сопряженной комплексной функции:

(7.61)

Для доказательства этого свойства следует подставить в выражение (7.54) комплексную функцию, представленную в виде P(u) = = a(u) + jb(u), и показательную функцию, преобразованную по формуле Эйлера. Далее остается сравнить полученный результат с расчетом фурье-преобразования от комплексной сопряженной функции P^*(u) = a(u) – jb(u). Для этого расчета также надо преобразовать показательную функцию exp(–j2πuξ) по формуле Эйлера.

Меняя порядок интегрирования, продолжим преобразования:

(7.62)

Интеграл в квадратных скобках в соответствии с выражением (7.55) равен P(u+), поэтому ОПФ оптической системы

(7.63)

Такой интеграл от произведения какой-либо функции и сопряженной и сдвинутой по аргументу, называется автокорреляционной функцией. Этот интеграл равен нулю при тех значениях u, при которых хотя бы одна из функций или равна нулю.

Для выяснения физического смысла сдвига  вернемся к формуле (7.50) и вспомним условие f  = 1, принятое при выводе формулы (7.51). Отказавшись от этого ограничения, заметим, что зависящий от переменной фазовый член в формуле (7.50) имеет вид .

Отношение x'/ показывает, во сколько раз ∆ (оптическая разность хода) меньше координаты u: ∆ = u(x'/f'). Выразим теперь u числом длин волн , соответствующих этой координате. Получим

(7.64)

Таким образом, фазовый член в случае произвольных  и f ' имеет вид . Фаза волны — величина безразмерная. В нашем случае она определяется произведением координаты x' на член имеющий размерность пространственной частоты (1/длина).

Учтем реальную размерность фазового члена, переписав интеграл (7.63) в следующем виде:

(7.65)

Так как интеграл (7.65) является функцией u₀ (при этом u — переменная интегрирования), то значению пространственной частоты  соответствует , т. е.

(7.66)

При этом аргумент u и сдвиг u₀ выражаются в единицах длины.

Таким образом, ОПФ оптической системы можно определить, зная параметры только светового поля на сфере на выходе из системы, созданного малым источником — объектом.

Для двумерного случая выражение (7.65) можно переписать в виде

(7.67)

Выполнив замену переменных u' = u + f'_x/2 и ' =  + f'_y/2, представим выражение (7.67) в симметричной форме:

_(7.68)

Как следует из выражений (7.67) и (7.68), автокорреляционная функция отлична от нуля только в области перекрытия двух зрачков, смещенных один относительно другого на величину, пропорциональную пространственной частоте.

Эта область графически представлена на рис. 7.10, на котором видно, что пределы интегрирования по площади в (7.67) и (7.68) можно ограничить заштрихованной областью ∆G.

Ясно, что для пространственной частоты, равной нулю, сдвиг f'ν = 0, т. е. область перекрытия в этом случае максимальна и равна площади зрачка G. Так как для нулевой пространственной частоты значение ОПФ равно единице, автокорреляционную функцию по (7.67) и (7.68) можно нормировать делением на ее наибольшее значение, равное

Рис. 7.10. Автокорреляция зрачковой функции:

а — область перекрытия зрачков; б — расчетная схема

Формулы (7.67) и (7.68) с переменными u,  после нормирования приобретают вид

(7.69)