6.3. Основы теории формирования микроизображений

Формирование микроизображений является основным этапом микролитографии, на котором закладываются размер формируемого микрорельефа и его профиль.

Как для контактного, так и для проекционного способа экспонирования основной причиной искажений и размытия изображения является дифракция.

Излучение, проходящее через фотошаблон, дифрагирует на границах его прозрачных и непрозрачных участков, что ведет к изменению размеров элементов и формы изображения.

Для описания и оценки возникающих погрешностей необходим расчет дифракционного распределения интенсивности излучения на поверхности фоторезиста. Традиционно такой расчет выполняют на основе скалярной теории дифракции Френеля — Кирхгофа. Эта теория построена с учетом волновой природы света и основана на использовании принципа Гюйгенса, объясняющего прохождение световых волн через преграду.

Волновые процессы в оптике

Принцип Гюйгенса может быть сформулирован следующим образом: каждая точка волнового фронта рассматривается как источник вторичных элементарных волн, которые распространяются во все стороны. Вторичный волновой фронт определяется огибающей всех вторичных волн (рис. 6.5, a).

Если волновой фронт встречает на пути экран с отверстием, размер которого соизмерим с длиной волны света, часть фронта в отверстии можно считать единичным вторичным источником, излучающим равномерно во все стороны (рис. 6.5, б).

Когда размер отверстия превышает длину волны, полагают, что часть волнового фронта в отверстии состоит из большого числа вторичных источников с одинаковыми амплитудами и фазами (рис. 6.5, в), дающими в точке Р суммарную интенсивность (рис. 6.5, г).

Когда источники излучения находятся в бесконечности, волновые фронты можно считать плоскими и параллельными (рис. 6.5, д). Если при этом размер отверстия в экране достаточно велик по сравнению с длиной волны, вторичные источники образуют плоские перемещающиеся прямолинейно вторичные волновые фронты. В данном случае дифракционные эффекты проявляются лишь на краях отверстия.

Рис. 6.5. Принцип Гюйгенса и дифракция света на отверстиях

Таким образом, принцип Гюйгенса позволяет объяснить явление дифракции света в общем виде. Чтобы дать количественную оценку интенсивности распространяющихся за преградой световых волн, Френель дополнил принцип Гюйгенса. Он ввел понятие об амплитуде и о фазе колебаний элементарных волн с учетом их интерференции.

Представление волн в векторном и комплексном виде

Начнем рассмотрение дифракции с повторения основных понятий волновых процессов, таких как гармонические колебания, векторное и комплексное представление волн.

При анализе фотолитографических задач мы будем базироваться в основном на волновых свойствах света и лишь частично, когда речь пойдет о практической реализации литографических процессов, коснемся способа описания света как потока фотонов.

Световые электромагнитные волны представляют собой возмущения электромагнитного поля, которые распространяются в вакууме со скоростью света (c = 2,99810⁸ м/с). Векторы напряженности электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и их значения гармонически изменяются во времени.

Гармонические колебания определяются функцией, которая описывает проекцию радиус-вектора точки, движущейся по окружности с постоянной скоростью, на диаметр окружности (рис. 6.6, а). Эта проекция определяется соотношениями:

(6.6)

где U — отклонение (возмущение) поля; A — максимальное отклонение или амплитуда; T — период колебаний; , ^* — начальная фаза (отклонение в момент времени t = 0).

Рис. 6.6. Волновые процессы:

а — построение синусоиды; б — параметры поперечной волны

Колебания такого вида совершают векторы напряженности электрического и магнитного полей, однако обычно рассматривают электрический вектор, так как глаз человека реагирует именно на эту составляющую электромагнитного поля.

Уравнения (6.6) описывают гармоническое изменение вектора напряженности во времени. Однако электромагнитные возмущения помимо колебаний во времени еще и распространяются в пространстве, создавая синусоидальную кривую (рис. 6.6, б). В связи с этим уравнение (6.6) должно быть скорректировано. Дело в том, что точки волны, разнесенные вдоль оси X, совершают колебания, взаимно сдвинутые по фазе. Волна дойдет до точки с координатой x за время при этом волна изменит фазу на , и формула колебания этой точки будет иметь вид

(6.7)

Расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны . Время, необходимое для преодоления этого расстояния, — это период T, а величина, обратная периоду, — частота f. Отметим, что длина волны  связана с периодом T = 1/f и скоростью распространения волны очевидными соотношениями  = cT = c/f, поэтому уравнение (6.7) можно записать таким образом:

(6.8)

Выражение (6.8) описывает гармоническое колебание в момент времени t в точке с координатой x при распространении возмущения вдоль оси Х. Когда начальные фазы всех волн совпадают или мы имеем дело с одной волной, можно положить  = 0.

Обратим внимание на двоякую пространственно-временную периодичность волнового процесса. Если мы зафиксируем на оси точку Р с координатой x и проследим за ее поведением во времени, то увидим, что она совершает колебания с частотой f (периодом Т), амплитудой А и фазой

Если же мы зафиксируем время, придав ему какое-то определенное значение t, и будем рассматривать всю волну, то обнаружим, что она приняла форму синусоиды, образовав в пространстве правильно чередующиеся гребни и впадины. Расстояние между соседними гребнями равно длине волны .

Запишем уравнение (6.8) в более компактном и общем виде, введя для этого пространственный вектор x = (x, y, z) проекции x, y и z на соответствующие координатные оси:

(6.9)

где — круговая частота; — волновое число.

В оптике вместо тригонометрических функций часто вводят экспоненциальные, что весьма упрощает математическое описание волновых процессов. Воспользуемся для этого формулой Эйлера:

(6.10)

Действительная Re и мнимая Im части выражения (6.10) представляют собой тригонометрические функции и соответственно. Большинство математических операций легче выполнять с показательными функциями, чем с тригонометрическими. Поэтому вычисления рационально делать следующим образом: введя вместо косинуса или синуса показательную функцию, выполнить с ней все необходимые вычисления и в конце вернуться, если это желательно, к тригонометрическим функциям, взяв соответственно действительную или мнимую часть.

Используя показательную функцию, можно записать выражение (6.9) в виде

(6.11)

Комплексную функцию зависящую только от пространственных координат точки x = (x, y, z), называют комплексной амплитудой (фазором) и часто используют как самостоятельный параметр волны.

Взяв действительную или мнимую часть выражения (6.11), легко получить выражения для косинусоидального или синусоидального представления волны. Например, выражение эквивалентно выражению .

Как следует из рис. 6.6, а, волну можно характеризовать вектором А, образующим угол  с горизонтальной осью.

Рис. 6.7. Комплексное представление волн

Этот вектор можно также представить в комплексной плоскости (рис. 6.7).

Начало вектора лежит в начале координат, а конец — в точке, представляющей комплексное число

(6.12)

Преимущества комплексного представления волн выявляются при выполнении математических операций. Например, для сложения двух волн, характеризуемых комплексными числами, их напряженности удобно представить в виде сумм их действительных и мнимых частей: Выражение для суммы волн записывается так:

Для перемножения двух волн представим их в виде модулей с фазовыми множителями: Здесь A и B — действительные числа. Тогда произведение волн будет иметь вид

(6.13)

Правило умножения комплексных чисел имеет ряд интересных следствий. Рассмотрим, например, число . Согласно формуле (6.12) имеем

(6.14)

Из уравнения (6.13) следует, что умножение комплексного числа на увеличивает его фазу на π/2, т. е. поворачивает вектор, соответствующий этому числу, на 90 против хода часовой стрелки.

Аналогичный результат можно получить, если представить исходное число в виде суммы действительной и мнимой частей. Пусть U = a + jb — напряженность волны, которая на комплексной плоскости представлена модулем и проекциями a и jb, при этом результат умножения U на j имеет вид

Напомним, что модуль комплексного числа определяется выражением

(6.15)

Векторы U и jU имеют одинаковый модуль, однако умножение вектора U на j приводит к его повороту на 90. Напомним также, что два комплексных числа, отличающихся друг от друга только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное с комплексным числом U = a + jb, обозначается как U^*= a – jb. Произведение UU^* равно квадрату модуля комплексного числа и не зависит от аргумента (т. е. от фазы), так как

(6.16)

Формулу (6.16) часто используют для записи соотношения между комплексной амплитудой гармонического колебания (например, световой волны) и интенсивностью электромагнитного поля (последняя выражает яркость объекта или освещенность изображения). Интенсивность поля, т. е. средняя по времени энергия, протекающая в единицу времени через единицу площади, пропорциональна квадрату амплитуды световой волны: . Тогда

(6.17)