7.5. Аналитически метод выравнивания

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание.При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:

.

Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

- линейная функция;

- парабола второго порядка;

- показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой ) практически редко сделать на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов, имеющих эмпирический характер.

Наиболее простой эмпирический приём - визуальный: выбор форм тренда на основе графического изображения ряда - ломаной линии. В случае очень сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая их сглаживание с помощью скользящей средней).

Если цепные абсолютные приросты относительностабильны, не имеют отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (const), то в качествеформы тренданужно принятьпрямую линию (линейную функцию):

. (33)

Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной скоростью (Тiconst), то в качестве формы тренда следует принятьпоказательную кривую:

. (34)

В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно принять параболу второй степени:

. (35)

После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров обычно производится методом наименьших квадратов.Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных) уровней, лежащих на искомой кривой:

(36)

где фактические уровни, выровненные (модельные) уровни.

Рассмотрим технику выравниванияряда динамики попрямой(33). Параметрыиискомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:

(37)

где t – время (порядковый номер интервала или момента времени).

Решают эту систему и получают числовые значения параметров линейного тренда и.

Чтобы найти неизвестные параметры параболы второго порядка переходят к системе уравнений, которая имеет вид:

(38)

На основании решении этой системы можно рассчитать числовые значения параметров.

Аналогичным образом определяют неизвестные параметры и для других трендовых моделей.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых отсутствует информация.

Нахождение по имеющимися данными за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называетсяэкстраполяцией.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно базироваться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохранятся и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.

При составлении прогноза уровней социально – экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. При этом границы интервалов определяются по формуле:

, (39)

где точечный прогноз, рассчитанный по отобранной модели;

коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости;

среднее квадратическое отклонение тренда.

При этом среднее квадратическое отклонение тренда рассчитывается по формуле:

, (40)

где исоответственно фактические и выравненные значения уровней динамического ряда;

число уровней ряда;

число определяемых параметров трендовой модели.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе динамических рядов с использованием трендовых моделей выбираются несколько конкурирующих моделей. После выполнения необходимых вычислении производится выбор наилучшей модели тренда.

В качестве грубого критерия отбора иногда применяют среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формуле (40). Выбирается тот тренд, для которого меньше среднее квадратическое отклонение.

Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой и по параболе второго порядка.

Пример 5. В табл.5 представлена динамика производства мяса в регионе.

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004	171 148 170 162 187 181 168 223	2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 -	196 140 224 196 237 179 189 -

Необходимо рассчитать прогноз производства мяса в регионе на 2012год с вероятностью 0,99, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: а) линейной моделью (33); б) параболической моделью (35).

Решение. Расчета коэффициентов нормальных уравнений линейного тренда (37) и параболического тренда (38) сведем в таблицу 6.

Таблица 6. Расчет параметров систем нормальных уравнений трендовых моделей

Годы
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	171 148 170 162 187 181 168 223 196 140 224 196 237 179 189	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225	1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375	1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 20736 28561 38416 50625	171 296 510 648 935 1086 1176 1784 1764 1400 2464 2352 3081 2506 2835	171 592 1530 2592 4675 6516 8232 14272 15876 14000 27104 28224 40053 35084 42525
Итого	2771	120	1240	14400	178312	23008	241446

На основании таблицы (6) составим нормальные уравнения линейного тренда (37), которые имеют вид:

После решения этой системы были получены числовые значения неизвестных параметров: =160,73;=3. Следовательно, модель линейного тренда примет вид:

. (40)

Теперь необходимо составить систему нормальных уравнений параболического тренда (38):

Решение этой системы дает результат: =149,05;=7,12;=-0,26.

Далее для уравнений параболы (35) составим модель параболического тренда:

. (41)

Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр этоабсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени , илисредний абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту(росту в арифметической прогрессии). Так, в нашем примере,=3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т.

В дальнейшем необходимо рассчитать выравненные значения уровней для трендовых моделей (40) и (41). С этой целью в подобранные модели последовательно необходимо подставить текущие номера уровней t. Результаты подсчетов сведем в табл. 6.

Таблица 7 - Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе ряда динамики производства мяса в регионе.

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Обозначение времени t	Выравненные уровни по линейному тренду,	Выравненные уровни по параболическому тренду,
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	171 148 170 162 187 181 168 223 196 140 224 196 237 179 189	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	163,73 166,73 169,73 172,73 175,73 178,73 181,73 184,73 187,73 190,73 193,73 196,73 199,73 202,73 205,73	155,91 162,25 168,07 173,37 178,15 182,41 186,15 189,37 192,07 194,25 195,91 197,05 197,67 197,77 197,35

После выравнивания уровней динамического ряда посредством двух моделей стало очевидным тенденция к росту производства мясо в регионе.

Для выполнения прогноза производства мясо в регионе необходимо рассчитать средние квадратические отклонения каждой модели. Необходимые вычисления сведем в табл. 8.

Таблица 8 - Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений

Годы	Линейный тренд		Параболический тренд
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011	7,27 -18,73 0,27 -10,73 11,27 2,27 -13,73 38,27 8,27 -50,73 30,27 -0,73 37,27 -23,73 -16,73	52,85 350,81 0,07 115,13 127,01 5,15 188,51 1464,59 68,39 2573,53 916,27 0,53 1389,05 563,11 279,89	15,09 -14,25 1,93 -11,37 8,85 -1,41 -18,15 33,63 3,93 -54,25 28,09 -1,05 39,33 -18,77 -8,35	227,71 203,06 3,72 129,27 78,32 1,99 329,42 1130,98 15,44 2943,06 789,05 1,10 1546,85 352,31 69,72
Итого	-	8094,89	-	7822,01

На основании этой таблицы рассчитаем средние квадратические отклонения моделей:

линейный тренд:

24,95;

тренд параболы:

25,53.

Так как модель линейной функций имеет меньшую среднеквадратическую ошибку то она и будет использоваться для прогнозирования.

Для этого в подобранный модель (40) вместо параметра tподставляется время упреждения. В результате получим точечный прогноз показателя:

208,73 тыс. т.

Далее по числу степеней свободы и заданной вероятности 0,99 из специальных таблиц найдем коэффициент доверия к прогнозу. И он равен. На основании выражения (39) запишем границы прогнозируемого показателя:

.

Подставляя сюда рассчитанные величины получим:

.

Таким образом с вероятностью 0,99 можно ожидать, что производство мясо в регионе 2012 г. будет не ниже 188,31 тыс. т., но и не выше 229,15 тыс. т.

Тесты к главе 3

1. Средний уровень интервального ряда динамики определяется по формуле:

а) средней гармонической;

б) средней арифметической простой;

в) средней хронологической;

г) средней арифметической взвешенной.

2. По времени, отраженному в динамических рядах они разделяются на:

а) статистические и частотные;

б) гармонические и интегральные;

в) дискретные и интервальные;

г) интервальные и моментные.

3. Приемом обнаружения общей тенденции развития не является:

а) метод скользящей средней;

б) аналитическое выравнивание ряда динамики;

в) приведение рядов динамики к одному основанию;

г) укрупнение интервалов.

4. Средний уровень моментного ряда динамики определяется по формуле:

а) средней гармонической взвешенной;

б) средней хронологической;

в) средней арифметической простой.