5.3. Средние величины

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами. Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, которая, и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическаяпростая.Эта форма применяется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:

Экономический показатель	Торговый центр (i)
Товарооборот (млн.руб.)	1	2	3	4	5
	140	150	130	168	125

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот (СМТ) в расчете на один торговый центр необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

Исходя из этого получим рабочую формулу данной средней:

, (5)

где индивидуальные значения признака, которые называют вариантами,число единиц совокупности.

С учетом имеющихся исходных данных получим:

В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная.При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и интервальными.

Рассмотрим следующий условный пример:

Таблица 5

Результаты торгов акциями АО

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1	600	1100
2	400	1080
3	2500	1132

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции (СКА), что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:

Таким образом расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

,(6)

где варианты;веса или частоты (т.е. число вариант, имеющих одинаковое значение признака).

При расчета средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример (табл.6):

Таблица 6

Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли

Прибыль, млн руб.	Число предприятий
10- 20 20- 30 30- 40 40- 60 60- 80 80- 100	7 13 38 42 16 5
Итого	121

Для определения средней прибыли в расчете на одно предприятие найдем середины интервалов. Середины интервалов будут следующие:

15, 25, 35, 50, 70, 90.

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю прибыль предприятий отрасли:

В статистических исследованиях используются и другие виды средних. Рассмотрим их.

Средняя гармоническая- это величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака. Ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение. Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:

, (7)

, (8)

где число единиц совокупности,варианты,. Расчет средней гармонической простой поясним на примере.

Таблица 6 - Стоимость продукции и ее выработка в рабочих бригадах

Номер бригады	Стоимость произведенной продукции, тыс. руб. ()	Выработка на 1-го рабочего, тыс. руб. ()
1 2 3	52 68 76	2,1 2,6 2,9
Итого	196

Варьирующим признаком в данном примере является средняя выработка рабочих в каждой бригаде. Среднее значение данного варьирующего признака равно 2,4 тыс. руб. Эта средняя получается как средняя гармоническая, где веса деленные на варианты показывают численность рабочих в бригадах, т.е.

Средняя геометрическая.Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая. Сначала обратимся к формуле невзвешенной средней геометрической. Она выглядит следующим образом:

. (9)

Соответственно средняя геометрическая взвешенная приобретает следующее выражение:

. (10)

Средняя квадратическая. В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например для вычисления средних диаметров труб, стволов).

Средняя квадратическая простая рассчитывается по выражению

(11)

Средняя квадратическая взвешенная вычисляется по формуле:

(12)

Средняя квадратическая используется для анализа вариации признака. Наиболее широкое применение средняя геометрическая для определения средних темпов изменения в рядах динамики. В экономических исследованиях наиболее часто применяются средне арифметически и средне гармонически величины.