5.6. Показатели вариации
Исследование вариации в статистике и социально - экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака статистической совокупности характеризует её однородность.
В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относится размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Способ вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.
,
(19)
где
- наибольшее значение варьирующего
признака;
-
наименьшее значение признака.
Среднее
линейное отклонение
представляет собой среднюю величину
из отклонений вариантов признака от
средней. Его можно рассчитать по формуле
средней арифметической, как невзвешенной,
так и взвешенной, в зависимости от
отсутствия или частот в ряду распределения:
- невзвешенное среднее линейное
отклонение;
-
взвешенное среднее линейное отклонение.
Символы
,
,
иn имеют то же значение, что и в
предыдущих параграфах. Рассмотренные
выше показатели имеют те же размерность,
что и признак, для которого они вычисляются.
Дисперсияпредставляет собой средний квадрат
отклонений индивидуальных значений
признака от их средней величины
(обозначается греческой буквой
- «сигма квадрат»).
Дисперсия вычисляется по формулам простой и не взвешенной и взвешенной:
- не взвешенная;
-
взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:
- не взвешенное;
- взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.
Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации.Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).
Различают следующие относительные показатели вариации (V):
Коэффициент
осцилляции:
,
Линейный
коэффициент вариации
Коэффициент
вариации:
.
Наиболее часто в практических расчётах из этих трёх показателей применяется коэффициент вариации.
Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяются совокупности, а так же и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислитьдисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.
Общая дисперсияизмеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию:
,
(20)
Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию, т.е., различия в величине изучаемого признака - фактора положенного в основании группировки.
Она рассчитывается по формуле:
(21)
где
и
- соответственно средние и численности
по отдельным группам.
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака фактора, положенного в основание группировки.
Она исчисляется следующим образом:
(22)
Средняя из внутригрупповых дисперсий:
,
(23)
Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
,
(24)
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счёт группировочного признака.
Зная любые виды дисперсий, можно определить или проверить правильность расчёта третьего вида.
На
основании правила сложения дисперсий
можно определить показатель тесноты
связи между группировочным (факторным)
и результативным признаками. Она
называется эмпирическим корреляционным
отношением, обозначается
(«эта») и рассчитывается по формуле:
(25)
Тесты к главе 5
1. Способами статистического наблюдения не являются:
а) непосредственное;
б) саморегистрация;
в) экспедиционный способ;
г) выборочное.
2. Видами статистического наблюдения не являются:
а) по признаку характера учета факторов во времени;
б) по признаку, характеризующему объект наблюдения;
в) по признаку полноты охвата совокупности.
3. Сводкой в статистическом анализе называется:
а) объединенные единиц совокупности в некоторые группы, имеющие свои характерные особенности, общие черты и сходные размеры изучаемого признака;
б) объект, характеризующийся цифрами;
в) это научно организованная обработка материалов наблюдения, включающая в себя систематизацию, группировку данных, составление таблиц, подсчет групповых и общих итогов, расчет производных показателей.
4. Для измерения вариации значения признака не вычисляют показатели:
а) моду;
б) дисперсию;
в) размах вариации;
г) среднелинейное отклонение;
д) коэффициент вариации.
5. Модой в статистике называют:
а) значение признака, которое чаще всего встречается в данной совокупности;
б) значение признака у единицы, которое находится в середине упорядоченного ряда распределения;
в) значение признака, которое встречается в данной совокупности единственный раз.
6. Если данные сгруппированы, но каждое значение признака встречается неодинаковое количество раз, то применяется формула (запишите ее):
а) средняя гармоническая простая;
б) средняя хронологическая;
в) средняя арифметическая взвешенная;
г) средняя гармоническая взвешенная.
7. Ряды распределения называют вариационными:
а) построенные по количественному признаку;
б) построенные по качественному признаку;
в) построенные в порядке убывания.
8. Под ранжированием понимаются:
а) определение предела значений варьирующего признака;
б) определение среднелинейного отклонения;
в) разложение всех вариантов признака возрастающем (или убывающем) порядке.