2.5. Символический язык логической структуры математических предложений

Математика описывает исследуемые процессы, используя кроме словесного языка символический. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой, причем они взаимосвязаны.

При записи математических предложений используются обозначения логики:

1. Логические символы:

a) логический вывод (дедукция), который означает: «влечет за собой».

b) логическая равносильность, которая означает: «эквивалентно».

2. Кванторы:

a) квантор существования.

«x» означает: «существует по меньшей мере один х такой, что …».

Запись: «x:А(х)»; означает: «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание».

b) – квантор общности, который означает «любой» или «для всех».

Основным объектом математической логики является высказывание.

Определение 13: Высказыванием в математике называют предложение, относительного которого имеет смысл вопрос истинности или ложности его.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого слова: «и, или, если…, то», которые называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Выделяют пять основных логических связок, которые позволяют получить новые высказывания:

1. Отрицание– это высказывание, которое получается из данного высказывания А с помощью слова «не». Отрицание обозначаетсяА.

2. Конъюнкциявысказываний А и В – это высказывание АB, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и высказывание АB ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Конъюнкция получается из двух данных высказываний А и В с помощью союза «и».

Пример 14. Пусть высказывание А: «студент сдал экзамен по истории», высказывание В: «сдал экзамен по иностранному языку».

Конъюнкция высказываний А иВ (АB): «студент сдал экзамен по историиисдал экзамен по иностранному языку».

3. Дизъюнкциявысказываний А или В – это высказывание АB, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и высказывание АB ложно, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция получается из двух данных высказываний А, В с помощью союза «или».

Пример 15. Пусть высказывание А: «студент сдаёт экзамены на хорошо», высказывание В: «сдаёт экзамены на отлично».

Дизъюнкция высказываний А илиВ (АB): «студент сдаёт экзамены на хорошоилисдаёт экзамены на отлично».

4. Импликация образуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «если…, то…».

Импликация обозначается AB(если А, то В).

Пример 16.Если студент сдаёт сессию без троек и двоек, то он получает стипендию. Здесь высказывания: А – «студент сдаёт сессию без троек и двоек», В – «он получает стипендию».

5. Эквиваленция образуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «тогда и только тогда, когда…».

Эквиваленция обозначается: AB.

Пример 17.«Студент получает стипендию тогда и только тогда, когда он сдаёт экзамены на хорошо или отлично». Здесь высказывания: А – «студент получает стипендию», В – «он сдаёт экзамены на хорошо или отлично».

Для примера рассмотрим несколько высказываний с применением кванторов.

Пример 18.Если В есть подмножество Х и элемент х принадлежит В, то это можно записать в виде:x:xBxX. Эту строку можно прочитать так: для любого х, если х принадлежит подмножеству В, то это влечет за собой (следует) утверждение, что х принадлежит множеству Х.

Пример19. Запись:a:[aAB][aAaB] можно прочитать: для любого элементаа, еслиапринадлежит пересечению множеств А и В, то это равносильно, чтоапринадлежит множеству А и множеству В.

Пример 20. Запись:x:xABозначает: существует по меньшей мере один х такой, что элемент x принадлежит пересечению множеств А и В.

Пример 21.Запись «z:[zZ]xX:x=cos(z)», можно прочитать: для любого элемента z, если z принадлежит множеству Z, то из этого следует, что существует по меньшей мере один х, принадлежащий множеству Х такой, что элемент x равен cos(z).