4.2. Алгебра случайных событий

Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: . Соответственно, пространство элементарных исходов рассматривается как универсальное множество по отношению к случайным событиям. Любое случайное событие А состоит из одного и более элементарных исходов. Если элементарный исход обозначить через, тогда случайное событие А можно рассматривать как подмножество пространства:

А={|A}.

Достоверному событию соответствует всё пространство . Невозможное событие описывается пустым множеством.

Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой(объединением) этих событий и обозначается: А+В или АВ (рис.2.1). Сумму событий можно рассматривать как объединение соответствующих множеств. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель это событие, состоящее из суммы событий: попал первый или второй или оба стрелка.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением(пересечением) событий А и В и обозначается: АВ или АВ (рис. 2.2). Произведение событий можно рассматривать как пересечение соответствующих множеств. Для совместных событий АВ. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков это событие, состоящее из совместного появления событий: попал первый и второй стрелок.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а В не происходит, называется разностьюсобытий А и В и обозначается: А\В или А-В (рис. 2.3).

Событие, обозначаемое черезА, называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Пример 1.

Стрелок попал в цель – это событие А. Стрелок не попал в цель – это событиеА.

Зависимые события. Событие А происходит при условии, что событие В уже произошло,т.е. событие В включено в событие А и обозначается: В А.

Пример 2.

Абитуриентов зачисляют в ВУЗ сразу (это событие А) при условии, что они сдали все вступительные экзамены на «отлично» (это событие В).

Если А В и ВА, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными (записывают АВ).

Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае АВ=.

Пример 3.

Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков – это событие А. Промахнулись оба стрелка – это событие В. События А и В в данном примере несовместны.

События А₁, А₂,..., А_kобразуют полную группу событий, если:

А₁А₂...А_k=;

Пример 4.

Студент сдаёт два экзамена. Возможно одно из событий: «сдан первый экзамен и не сдан второй», «не сдан первый экзамен и сдан второй», «сданы два экзамена», «не сданы два экзамена». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Элементарными событиями или исходами называют события, удовлетворяющие трем условиям:

1) они попарно несовместны;

2) образуют полную группу;

3) равновозможны.

Операции над событиями удовлетворяют свойствам, приведённым в таблице 4.1.

Таблица 4.1

1	АВ = ВА;	2	АВ = ВА;
3	АА = А;	4	АА = А;
5	А=;	6	А= А;
7	А= А;	8	А=;
9	А(ВС)=(АВ)С;	10	А(ВС)=(АС)В;
11	А(ВС)=(АВ)АС);	12	А(ВС)=(АВ)(АС);
13	=.	14	=.

В результате можно устанавить соответствие между понятиями теории множеств и теории вероятностей, которое приводится в таблице 4.2.

Таблица 4.2

№	Теория множеств	Терия вероятностей
1	Множество	Случайное событие
2	Объединение АВ	Сумма А+В
3	Пересечение АВ	Произведение событий АВ
4	Непересекаюшиеся множества	Несовместные события
5	Разбиение	Полный набор событий
6	Дополнение	Противоположное событие
7	Универсальное множество	Достоверное событие
8	Пустое множество	Невозможное событие