4.4.5. Сложение вероятностей совместных событий

Теорема 7.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В).

(4.10)

События в формуле (4.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Для независимых событий:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В).

(4.11)

Для зависимых событий:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В).

(4.12)

Пример 14.

Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р₁=0,5, во второй р₂=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?

Решение.

Эти события совместные. Каждое событие независимое. Для независимых событий выбираем формулу (4.11).

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)–Р(А)Р(В) = р₁+р₂–р₁р₂= 0,5+0,3 – 0,5∙0,3=0,65.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. В случае трех совместных событий она имеет вид:

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

В частном случае для несовместных событий А и В (т.е. когда АВ =и Р(АВ) = Р() = 0), формула (4.10) имеет вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

4.5. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: Р(H₁), Р(H₂), ..., Р(H_n) и условные вероятности: Р(А/H₁), Р(А/H₂), ..., Р(А/H_n).

Требуется найти вероятность Р(А).

Теорема 8.Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

.

(4.13)

Так как события H_iнесовместны, то несовместны и события АH_i.

Выражение (4.13) называется формулой полной вероятности.

Пример 15.

В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником?

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался отличником. Пусть события H₁, H₂означают гипотезы (предположения), что студент соответственно из первой или из второй группы.

Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы: Р(H₁)=р₁=20/50=0,4. Р(H₂)=р₂=30/50=0,6. Проверка: р₁+р₂=1.

Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи: Р(А/H₁) = 5/20 = 0,25. Р(А/H₂) = 6/30 = 0,2.

Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной вероятности (4.13):

Р(А) = Р(H₁)Р(А/H₁)+Р(H₂)Р(А/H₂) = 0,40,25 + 0,60,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.

Эту задачу можно решить по формуле (4.1). Всего в двух группах 50 студентов, из них 11 отличников. Р(А) = 11/50=0,22.

Однако эта задача простая и в ней можно проверить решение по элементарной формуле (4.1). Формула (4.13) применяется в сложных задачах, а также используется в задачах, где следует найти вероятность одной из гипотез при условии, что событие А уже произошло.