1.2. Аксиоматическое построение математической теории

При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основныхи принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремамии доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:

Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).

Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:

• Первичные понятия.

• Аксиомы.

• Определения.

• Теоремы.

Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.

Примеры первичных понятий.

К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.

Примеры аксиом.

Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Примеры определений.

Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.

Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.

Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений, называются теоремами.

Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Примеры теорем.

Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.

Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.

Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу. Система аксиом должна бытьполнойинезависимой, При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических) строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого понятия.