6.4. Некоторые статистические распределения

При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной величине из выборки. В результате, только на основании выборочных данных можно получить случайную величину с известным законом распределения. Многие важные статистики распределены по специальным законам. К ним относятся:

• Распределение ²« Хи – квадрат».

• Распределение Стьюдента.

6.4.1. ²– распределение

Пусть ₁,₂,…,_k– независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону – N (0,1), т.е. математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Сумма квадратов этих случайных величин равна:

.

(6.6)

Сумма квадратов этих случайных величин в (6.6) распределена по закону ²«Хи – квадрат» с k=n степенями свободы.

Эту случайную величину обозначают ²(k):

.

Если случайную величину принять за х, то можно записать:

2(k) = x12+ x22+ ... + xk2.

(6.6a)

Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например:

,

то число степеней свободы k = n – 1. Среднее значение равно:

.

Свойства ²–распределения:

1. Случайная величина ²(k) имеет нулевую плотность распределения при х ≤ 0, так как данная величина есть сумма квадратов и всегда положительна.

2. При большом числе степеней свободы k распределение ²(k) близко к нормальному. В этом случае математическое ожидание случайной величины распределенной по закону²(с k степенями свободы) равно k:

M2(k) = k.

(6.7)

6.4.2. Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина распределена по стандартному нормальному закону N(0,1). Случайную величинуделят на корень из²/k.

ЗаконСтьюдента– это отношение нормированной случайной величинык квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «Хи – квадрат» с k степенями свободы, делённой на k. Данная случайная величина и соответствующий закон распределения обозначаются через t(k), именуются «распределение Стьюдента»:

.

(6.8)

График плотности распределения Стьюдента похож на график нормального распределения, приведённого на рис 5.4. С увеличением k – степеней свободы кривая вытягивается вдоль оси y.

Свойства распределения Стьюдента:

Свойство 1. Распределение Стьюдента симметрично относительно оси Y, причём M t(k) = 0.

Свойство 2. При больших значениях k распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N(0,1).

6.5. Интервальные оценки

В разделе 6.3 на примерах было показано определение выборочных числовых характеристик случайной величины: выборочной средней –x, выборочной дисперсии – D_в, выборочного среднего квадратического отклонения –_в. Полученные оценки являются приближенными. Поэтому вводится понятие интервальных оценок.

Интервальной называют оценку, которая определяется границами: началом и концом диапазона значений характеристики. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок. Однако граничные значения также случайные величины. Следовательно, строится интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью содержал бы неизвестное значение параметра распределения.

Для определения погрешности полученных значений используют интервальные оценки, применяя понятие «доверительного интервала» – интервала, внутри которого параметр, как ожидается, найдется с некоторой доверительной вероятностью (надёжностью) . Иногда вместоиспользуют величину= 1 –, называемую уровнем значимости. На практике уровнь значимости – малое число, которое принимается примерно равным:

 = 0,01; =0,05;= 0,1.