5.3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (5.9а). Подставив в формулу (5.9а) значение плотности распределения из (5.16) для нормального распределения N(a, ) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу [x₁, x₂], будет равна:

,

(5.18)

где а – математическое ожидание.

Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение=20. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30;90).

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5.18).

Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.

P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 20,4332 = 0,8664.

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30<X<90) =2 Ф(1,5) =20,4332= 0,8664.

5.3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины

Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной .

Пусть – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения. Данная вероятность записывается в виде: P(|X-a|) ≤.

Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х₁; х₂] симметричен относительно математического ожидания –а. Таким образом: a–х₁=; х₂–a =. Отсюда можно выразить границы отрезка [х₁; х₂] , которые будут иметь вид:

х1=а –; х2=а +.

(5.19)

В правую часть (5.18) подставляются значения х₁, х₂из (5.19). Далее выражение в фигурных скобках левой части формулы (5.18) переписывается в виде двух неравенств:

1) х₁≤ X и заменяется в нём х₁согласно (5.19), получится:

а–≤ Xилиа–X ≤.

2) X ≤ х₂, аналогично заменяется х₂ из (5.19), получится:

X ≤ а+или X–a ≤.

В результате этих замен формулу (5.18) можно переписать в виде:

P (|X–a| ≤ ) = 2Ф(/) = 2Ф(t),

(5.20)

где

Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае N(a, ):

.

(5.21)

Далее рассматриваются несколько примеров вычисления вероятности отклонения нормально распределённой случайной величины от своего математического ожидания.

Пример 8.

Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение =1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.

Решение.

Дано: =2,=1мм, а=0.

По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(/) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.

Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна:

P (|X| ≤ ) = 20,4772 = 0,9544.

Пример 9.

Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и =15.

Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания – абудет меньше 5.

Решение.

По формуле (5.20) вычисляем вероятность отклонения случайной величины:

P(|X– 50| < 5) = 2Ф(5/15) = 2Ф(0,333) = 20,1293 = 0,2586.

Вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего математического ожидания будет меньше пяти, равна: P(|X–a|<5)=0,2586.

Пример 10.

Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания – а не больше, чем на 3.

Решение.

По условию задачи ≤ 3. С учетом (5.20) будем иметь:

,

где Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 1):

Ф(3) 0.49865.

В итоге: P(|X-a|3) = 2Ф(3)0,9973.