6.5.3. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности объёмом n извлечена выборка. Требуется по данным выборке оценить неизвестную генеральную дисперсию D_г.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Отличие математического ожидания выборочной дисперсии от оцениваемой генеральной дисперсии определяется следующим соотношением:

.

(6.16)

Выборочная дисперсия может быть исправлена. Исправленная выборочная дисперсия равна:

.

(6.17)

Исправленная выборочная дисперсия (6.17) является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Таким образом, получена оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.

6.5.4. Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия неизвестна. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Во-первых, по данным выборки объёмом nможно найти исправленную выборочную дисперсиюs², используя (6.17).

Во-вторых, по данным выборки можно строить случайную величину, которая имеет распределение Стьюдента с k = n–1 степенями свободы, используя формулу (6.8):

.

(6.18)

Если сравнить распределение Стьюдента по данным выборки (6.18) с (6.8), то следует отметить, что в (6.18):

1. За случайную величину принята разность (), которая является отклонением неизвестного математического ожидания а от среднего выборочного.

2. За ²принимается исправленная выборочная дисперсия s².

Если в числителе (6.18) заменить разность () на, то (6.18) можно записать в виде:

.

(6.19)

Из уравнения (6.19) можно найти – отклонение неизвестного математического ожидания от среднего выборочного:

.

(6.20)

Из уравнения (6.18) можно найти неизвестное математическое ожидание, если известно значение случайной величины t_, по (6.19), где индекс переменной указывает на особенность задачи с использованием понятия надёжностив отличие от (6.8). Математическое ожидание записывается в виде доверительного интервала, подставив отклонениеиз выражения (6.20) в неравенство (6.11):

.

(6.21)

Если задаться значением надёжности , то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, который строится по аналогии с (6.15):

.

(6.22)

Из уравнений (6.8) и (6.19) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n – объёмом выборки (числом степеней свободы k=n–1) и не зависит от неизвестных параметров а и . Эта особенность является его большим достоинством.

Можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если неизвестна дисперсия D = ²:

1. Задают значение надёжности в формуле (6.22) – .

2. Находят значение t_, пользуясь таблицей Приложения 2 по значениям k и уровню значимости= 1–, выбрав верхний вариант: [Уровень значимости(двусторонняякрит. область)].

3. Из уравнения (6.20) находят отклонение неизвестного математического ожидания от среднего выборочного – .

4. Строится доверительный интервал по (6.21) или (6.11), содержащий неизвестное математическое ожидание с вероятностью .

Пример 6.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. По выборке объёма n=61 найдена выборочная средняяx=30 и исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,5. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью=0,95 неизвестного математического ожидания –а.

Решение. Дано по условию задачи:

1. Исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,5.

2. Выборочная средняяx=30.

3. Надёжность = 0,95;

4. Объём выборки n = 61.

Пользуясь таблицей приложения 2 по значениям k = n – 1 = 60 и уровню значимости = 1 –= 1–0,95 = 0,05 находим значение t_=2,00.

Вычисляем по формуле (6.20):

Полученное значение подставим в формулу доверительного интервала (6.11): 30 – 0,387 < a < 30+ 0,387.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с надёжностью = 0,95 равен: 29,613 < a < 30,387.