Геодезія 2

якої мають ординати У, та Уг. Оскільки лінія 80 не знаходиться у шестиградусній зоні, то її проекція 8 значно довша. У різних точках меридіана 2£>2', з віддаленням від полюса 2, спотворення зростають, а в точці £) (на екваторі) спотворення сягають безмежності. Рис. ІІ.4.2 дає тільки геометричне уявлення суті проекції, про що вже була мова.

Насправді, оскільки Земля не сфера, то завдання проектування ускладнюється й розв'язується в курсі сферичної геодезії. Формула видов-

2К'

де

(ІІ.4.11)

Зауважимо, що поправки за редукування ліній на рівень моря на території України завжди від'ємні; навпаки, поправки редукування ліній на площину Гаусса-Крюгера завжди додатні. Завжди від'ємними є також поправки за приведення нахилених ліній до горизонту.

Визначимо середню квадратичну похибку вимірювання кутів на даному пункті. Звернемося до рис. ІІ.4.3.

Можемо записати матрицю виміряних кутів: 4-1

Аі . А І . / ^ - А

Аї . А З . Д И - А *

АЇ . А і . А Й - А ,

192

Оскільки кутів на один менше, ніж напрямків, тоді матриця кутів матиме {к — 1) стовпчиків та п рядків. Всіх кутів буде (к-\) п. Визначимо середні значення одних і тих самих кутів, кожний з яких виміряний п разів, та знайдемо їх найімовірніші похибки <5і;.

Рсер1

Матриця похибок також матиме п ( к - 1 ) похибок. Проте, виміряти всі кути одним прийомом - необхідно. Тому надлишкових прийомів буде ( и - 1 ) , а надлишкових вимірювань (и-1)(&-1). Тому формула (формула Бесселя) середньої квадратичної похибки, обчислена за найімовірнішими похибками вимірювання 8у матиме вигляд:

Припустимо, що під час польових робіт створена мережа полігонометричних ходів, які за своєю формою є близькі до витягнутих, та мають поздовжні зсуви і\. Кількість ходів N, їх довжини Ц. Тоді, маємо:

Поздовжні зсуви і\ викликані як випадковими так і систематичними

похибками. Виключимо систематичні похибки. Для цього спочатку знайдемо коефіцієнт систематичного впливу Л, тобто, систематичну похибку на одиницю довжини:

193

Для кожного з ходів характерний свій коефіцієнт випадкового впливу р,, тобто випадкова похибка на одиницю довжини. Можемо записати:

Випадкові похибки і, будуть з різними знаками. Щоб позбутися різних знаків, піднесемо останні рівняння до квадратів:

Якщо ходи прокладають однаковими за точністю приладами, а лінії вимірюють однаковими методами, тоді значення р ] можна вважати рівно-

точними. Знайдемо найімовірніше значення р2:

мі_ ІЇ + ИІ+£ + ••• +НІ N

або

Тепер ми знаємо коефіцієнти випадкових р та систематичних X впливів на результати лінійних вимірювань. Це дає можливість розрахувати сумарну похибку т5< будь-якої лінії 5 , , або похибку т ь будь-якого ходу І,:

^ м ' . ц + Х - Ц ]

Зауважимо: ми виконали оцінку точності за результатами польових робіт, так звану постеріорну оцінку. Для підвісних мірних приладів та для світловіддалемірів заздалегідь (до виконання вимірювань) відомі значення коефіцієнтів ц та Л . Це дає можливість наперед, до вимірювань, підрахувати очікувані похибки, тобто виконати апріорну оцінку. Останнє, в свою чергу, дозволяє підібрати такі прилади та методи для виконання вимірювань, щоб мати мінімальні матеріальні затрати й виконувати всі вимоги замовника робіт.

11.4.5. Оцінка точності кутових вимірювань за результатами польових робіт

Оцінку точності кутових вимірювань виконаємо аналогічно, як і оцінку лінійних вимірювань. Нехай маємо N полігонометричних ходів, кутові

194

11.5. Прив'язувальні роботи в полігонометрії

11.5.1. Види та задачі прив'язувальних робіт. Способи прив'язування

Розрізняють два види прив'язувальних робіт:

I. Прив'язування пунктів полігонометрії до пунктів тріангуляції, трилатерації, космічних мереж, або до пунктів полігонометрії старших класів;

II. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних предметів на місцевості.

Задача І виду прив'язування - передати координати та напрямки з уже існуючих, раніше закладених геодезичних пунктів, на пункти полігонометричних мереж, що створюються.

Задача II виду прив'язування - відшукування полігонометричних пунктів на місцевості. Існує багато способів прив'язування І та II видів. Однак, найбільш типовими прив'язуваннями І виду є:

1.Безпосереднє поєднання пунктів полігонометрії з раніше закладеними пунктами тріангуляційних мереж, або старших пунктів полігонометрії. Центри знаків існуючих пунктів одночасно стають і центрами знаків нових полігонометричних мереж. Зрозуміло, що координати цих нових пунктів такі самі, як і координати раніше закладених.

2.Прив'язування до близьких пунктів, але недоступних або важкодоступних пунктів тріангуляції. Такі пункти, зазвичай, розташовані на високих спорудах. Наприклад, основи хрестів на церквах є такими пунктами (мають відомі координати). Прив'язування до таких пунктів називають "знесенням координат".

3.Прив'язування до далеких пунктів тріангуляції (виконуються прямими, оберненими та комбінованими засічками).

Прив'язування II виду виконуються в кожному окремому випадку різними способами, у залежності від наявності постійних (більш фундаментальних, ніж пункти полігонометрії"), предметів та споруд на місцевості. Від стабільних споруд вимірюють віддалі до пунктів так, щоб за цими вимірюваннями можна було з контролем знайти ту точку на місцевості, де закладався полігонометричний знак. У забудованих територіях такими місцевими предметами є будинки, перехрестя вулиць, опори дротів, тощо; отже, прив'язування не викликає ускладнень. У малоконтурній місцевості таке прив'язування ускладнюються, приходиться виконувати прив'язування до значно віддалених предметів.

11.5.2. Передача координат із високих (недоступних) точок на Землю (знесення координат)

Для виконання такого прив'язування необхідно, щоб для точки, координати якої визначаються, було видно не тільки високу (близьку) точку з

196

відомими координатами, але, як мінімум, ще одну точку (зазвичай, пункт тріангуляції також з відомими координатами).

Р, (ХРІ, УР2)

Рис. II.5.1. Знесення координат із недоступної (високої) точки Т, на пункт полігонометрії Р] .

Задачу знесення координат поділимо на три частини:

ваних трикутників, за теоремою синусів, можемо записати:

197

Визначення найімовірніших ко-

ординат точки Р(Хр.Їр) 30 цими

Рис. ІІ.5.3. До пояснення суті прямої

вимірюваннями називають пря- однократної засічки.

мою багаторазовою засічкою.

Проте, як це зрозуміло з тільки що сказаного, достатньо мати дві відомі точки, наприклад, Г, та Тг, щоб знайти координати шуканої точки Хр та ЇҐ Дійсно, розглянемо рис. ІІ.5.3. У трикутнику 7] Т2 Р відомі три елементи. Це означає, що трикутник можна розв'язати та знайти інші три елементи.

198

Визначення координат точки Р за двома відомими точками та виміряними в цих точках кутами Д та Д2, називають однократною прямою

кутовою засічкою. Я к щ о виконані польові вимірювання необхідні для прямої багаторазової засічки, тоді ця задача розв'язується так. Вибирають дві точки з відомими координатами, бажано так, щоб лінії візування на шукану точку Р перетиналися під кутом, близьким до прямого. Розв'язують однократну пряму засічку й знаходять наближені координати точки Р - Ха

та ¥ 0 . Потім за способом найменших квадратів знаходять найімовірніші поправки 8Х та 8У д о наближених координат, тобто знаходять

199

Маємо систему із трьох рівнянь. У цій системі три невідомих координати X, У та дирекційний кут а. Отже, система рівнянь може бути розв'язана і визначені невідомі X , У та а . Не вдаючись у подробиці перетворень рівнянь системи (ІІ.5.16), подамо тільки кінцеві формули для обчислення дирекційного кута а та координат X, У.

Знаючи X , знайдемо У, скориставшись одним з рівнянь системи (ІІ.5.16). Візьмемо друге рівняння цієї системи і запишемо його так:

також, що ця задача не має розв'язку, якщо шукана точка розташована на колі, на якому розташовані також три точки з відомими координатами . Уже цей факт вимагає візувати з шуканої точки не на три, а мінімум на чотири відомих точки. Одноразова обернена засічка перетворюється в багаторазову обернену засічку. Така засічка, як і багатократна пряма засічка, дає можливість декількаразового визначення координат шуканої точки, тобто

200

також постає питання визначення найімовірніших поправок 6Х та 8Г до наближених координат Хо, Уо. Визначення 8Х та 8Г виконується за методом найменших квадратів, і широко застосовуються диферендійні формули дирекційних кутів. Ці формули виведені в наступному параграфі. Зауваження: у попередніх параграфах розглядалися кутові засічки, характерні для методу тріангуляції. Аналогічно можуть виконуватися лінійні засічки, характерні для трилатерації, коли вимірюються не кути, а лінії.

ложення ("тверда" точка). У цій точці стоїть теодоліт. На "твердих" точках стоїть теодоліт, коли виконується пряма засічка. Припустимо далі, що точка В д е щ о змінила своє положення, а її координати стали Хв+с\ХВ; Ув+сіУв. Тоді дирекційний кут також змінить своє значення на сіа . Потрібно знайти зв'язок між змінами координат та змінами дирекційних кутів. Формули, що виражають такий зв'язок, називаються диференційнгши формулами ди-

рекційних кутів.

М о ж е м о мати інший випадок, коли, навпаки, точка А дещо змінила свої координати . Нехай ця точка "шукана" (шукаємо її найімовірніші координати). Т о ч к а В - відома ("тверда"). Теодоліт встановлено в точці А. Цей випадок відповідає оберненій засічці.

Рис. II.5.5. Д о пояснення суті диференційних формул дирекційних кутів.

Накінець, загальний випадок, коли змінюються, уточнюються координати як точки А, так точки В, або цілої мережі точок. Теодоліт може вста-

201