Геодезія 2

(наприклад = ЮІ'ЗвЧб" + 104°]2ЧЗ" - 180° = 25°5Г29") і, дійшовши До кінцевого дирекційного кута ак (а4(М, = 329°36'29"), повинні тримати точно кінцевий дирекційний кут ак , тому, що кутова нев'язка вже врахована.

Уграфу 4 виписують виміряні лінії. Графа 5 поки що пропускається

Адалі виконуються обчислення наближених приростів координат за виміряними лініями 8 та дирекційними кутами, що подані в графі 3.

1)Поздовжній і поперечний зсуви і і и. Необхідні формули виписані в цій графі;

272

Таблиця II.8.3. Обчислення координат витягнутого плігонометричного

ходу строгим методом

Г5=+0,104

,1

З = 20000

і

приблизними дирекційними кутами в графі 3.

Щоб знайти зрівноважені дирекційні кути ці поправки алгебраїчно додаються до наближених значень дирекційних кутів. Зрівноважені дирекційні кути у відомості не записані. За бажанням їх можна записати в графу З під наближеними дирекційними кутами, взявши їх в дужки. Обчислення закінчуються заповненням граф 8 і 9 та 10 і 11. У графах 8 і 9 записуються

274

суми повинні бути рівні різницям координат кінцевої та початкової заданих точок (не повинно бути нев'язок).

У графах 10 і 11 обчислюють кінцеві (точні) координати пунктів Хт,,

V

Оцінка точності кутів та ліній за результатами зрівноважень може бути виконана на основі знайдених поправок.

мають саме координати пунктів, які потрібно визначити. Отже, в нашому випадку це ХР та УР. Проте, для визначення координат пункту Р достатньо

275

розв'язків. Дійсно, можливі шість комбінацій по дві лінії. Тому отримаємо по шість значень Х? та У,,.

Потім достатньо визначити середнє вагове з них. Проте зрівно-

Рівняння (ІІ.8.72) називають рівняннями поправок в загальному виг-

ляді.

Задача зрівноваження складається із знаходження поправок V,. (/' = 1, 2,..., и) та параметрів Т) ( / = 1,2,.., і).

Для розв'язку системи (11.8.72) приведемо функції /*) до лінійного вигляду шляхом розкладу їх в ряд Тейлора, обмежившись, при цьому першими членами розкладу. Це можливо, якщо попередньо відомі наближені значення параметрів 7*°. В нашому прикладі, як уже відзначалося, за

наближені значення параметрів Хр°, Ур° можна прийняти значення коорди-

нат, визначені за однією парою виміряних віддалей. Тоді:

276

дТ, ЗТ,. (Н.8.73)

Позначимо часткові похідні

Тоді отримаємо систему (II.8.72) в лінійному вигляді:

у, =аЖ+ЬДг+..Ліі8ГІ + Рі{Т?,Тг\...,Т?)-<Іі. (ІІ.8.74)

Оскільки відомі значення виміряних величин сіі, та наближені значення параметрів Т°, тобто, відомі функції ^(Г10,Г2°,...,Г,0); то останні два

Як відомо, істинна похибка вимірювання Д, характеризується тією ж

вагою, що й результат вимірювання, тільки поправка уІ = -Д,, тому можна вважати, що будь-яка поправка V, в системі рівнянь (11.8.76) має вагу, рівну вазі відповідного виміру сі,, який знаходиться за формулою:

(11.8.77) де ц - середня квадратична похибка одиниці ваги; ті - середня квадра-

тична похибка результатів вимірювання.

Проте, система (ІІ.8.76) має нескінченну множину розв'язків, оскільки маємо п рівнянь та (п+1) невідомих. Тому застосуємо принцип найменших квадратів і позначимо

Для визначення мінімуму функції Ф необхідно знайти похідні цієї функції за всіма аргументами к,, тобто, за 8Г} та прирівняти їх до нуля. Часткова похідна функції Ф за першим параметром 5ГХ буде мати вигляд:

277

11.9. Зрівноваження полігонометричних мереж

11.9.1. Зрівноваження полігонометричної мережі, що збігаються в одну вузлову точку

Найпростішою полігонометричною мережею є мережа із трьох ходів, що сходяться в одну вузлову точку. Раніше була розглянута висотна мережа, яка також складалася із трьох нівелірних ходів, що збігались в одну вузлову точку. Проте, раніше ми визначали зрівноважене значення висоти вузлової точки. У даному випадку ми повинні визначити зрівноважені значення координат вузлової точки.

Воснову такого зрівноваження, як у випадку визначення висот, так і

увипадку визначення координат вузлової точки чи дирекційних кутів ліній, що виходять із цієї точки, покладені ваги ходів. Проте, зрівноваження полігонометричних мереж мають свої особливості й ми детально розглянемо зрівноваження таких мереж.

Рис. ІІ.9.1. Схема полігонометричної мережі із трьох ходів, що збігаються в одну вузлову точку.

До того ж, зауважимо, що на виробництві зрівноважують полігонометричні мережі окремо (окремо кути, окремо прирости координат), тобто, використовують наближені методи. Тільки для зрівноваження окремих ходів застосовують строгі методи. В якійсь мірі це вірно, оскільки координати вузлових точок визначають як середні вагові, тобто, як зрівноважені.

Нехай маємо полігонометричну мережу, зображену на рис. 11.9.1. Формули для визначення ваг дирекційних кугів та приростів координат

279

записані на рисунку. Зрівноваження будемо виконувати в такій послідовності:

1) Спочатку визначимо середнє вагове значення дирекційного кута

ходах вимірювались ліві кути, і крім того, для ходу 1 кількість кутів дорівнює Л, +1 ( й, - кількість ліній цього ходу); межуючий кут цього

кут Д , для ходу 2 кількість кутів дорівнює кількості ліній п2 цього ходу. Для ходу 3 межуючим є сумарний кут, що дорівнює Д + Д . Таким чином, середнє вагове значення дирекційного кута визначимо за формулою:

2) Знайдемо кутові нев'язки ходів

к

(II.9.2)

/ д = « Г ""-а"

3)Виміряні кути Д виправляються поправками. Суми поправок у кути будь-якого ходу повинні дорівнювати нев'язці цього ходу, взятій з оберненим знаком:

4)Переходимо до зрівноваження координат. Розглянемо зрівноваження тільки абсцис. Зрівноваження ординат виконується аналогічно. Знайдемо середнє вагове значення абсциси точки М. Ваги ходів обернено пропорційні довжині ходів.

5)Після визначення Хм та ¥и вузлової точки мережа розділяється на три незалежних ходи, які врівноважуються окремо строгим або спрощеним методом.

11.9.2. Зрівноваження полігонометричної мережі способом послідовних наближень

Розглянемо такий спосіб на конкретному прикладі. Припустимо, ми маємо мережу з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки М та N (див.

280

ня похибок. Цим рівнянням припишемо ваги як величини обернені до довжини ходів.

С(Хс,Ус)

В(хв,ув) 0(ХоЛ)

Рис. ІІ.9.2. Полігонометрична мережа з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки.

Хи~{Хв + [м\)=Уг

Р3. (119.4)

Як відомо, коли ці рівняння розв'язувати при додатковій умові [РУУ] = шіп, то це приведе до нормальних рівнянь, які в скороченому вигляді при двох невідомих (Хи та А^) запишуться так:

[Раа]Хм+[Раі]=0}

(11.9.5)

[рьь]х„+[рьі]=аі'

У рівняннях (ІІ.9.5) а, - коефіцієнти при першому невідомому (при Хм); в рівняннях похибок (ІІ.9.4), тобто а, = 1; в свою чергу Ь, - коефіцієнт при другому невідомому (при ХНУ, в цих самих рівняннях похибок (11.9.4)