Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ужгородский национальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Геодезія 2

.pdf
Скачиваний:
258
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
19.75 Mб
Скачать
☆

Це можна зробити, враховуючи, що [^Д]= 0. Отже, (II.8.29) можна записати так:

Позначивши в (ІІ.8.31) різниці

 

Уг-У^Пі,

(ІІ.8.32)

де >], - ординати точок ходу відносно центра ваги ходу. Матимемо:

 

А = - [ п М І

(П-8-33)

Позначивши

 

х , - Х ч = ^ ,

(ІІ.8.34)

де £ - абсциси точок ходу відносно центра ваги, можемо за аналогією напи-

сати:

 

 

 

В = -[£№]•

 

 

(И.8.35)

Таким чином, умовні рівняння набувають вигляду:

 

[со8оив]+-[т^]+Л = 0;

 

(11.836)

р

 

 

 

Р

 

 

 

Оскільки в рівняннях (ІІ.8.36) поправки в кути

<1$ та в лінії сІ8 запи-

сані двома літерами, доцільно ввести позначення: <10

= V,

с18 = а>, тобто,

позначити однією літерою поправки в кути

V, а поправки

в лінії о. Тоді

записи формул (ІІ.8.36) спростяться:

 

 

 

И - 0 ;

 

 

 

[со8ю»]+—[т}У]+/х

=0;

 

(И.8.37)

Р

 

 

 

Це і є умовні рівняння в кінцевому вигляді.

Слід зауважити, що, як це буде очевидно з подальшого тексту, введення центральних координат спрощує процес обчислень під час зрівноваження ходу.

262

У.»

Рис. ІІ.8.3. Геометрична інтерпретація координат центру вагиХ, У та координат відносно центру ваги ці та

Необхідно, однак, для більш повного розуміння суті справи, подати геометричну інтерпретацію координат центру ваги ходу Хч, Уц та координат точок ходу відносно центру ваги т]і, £ .

Для простоти скористаємось витягнутим рівностороннім полігонометричним ходом із шести точок, п'яти сторін, показаного на рис. ІІ.8.3:

 

у

у _ М

 

Х щ ~ ~ Т '

ц = 6 •

=

Уі -

=

=

Уі ~ Уц'г

•£г~Хі'Хц\

-Пі = Уз-уч'>

=

= УА-Ущ\

=

+гіі=у6-Уч;

-

Ш=о-

Й І - о .

З рисунку, наприклад, очевидно, що в ході три ординати щ, г)г, г/3 точок 1, 2, 3 від'ємні, а три , щ, % точок 4, 5, 6 - додатні. До того ж зрозуміло, що сума [77,] = 0. Аналогічно, сума [ £ ] = 0.

263

11.8.5. Строге зрівноваження довільного полігонометричного

ходу

корепатним методом

 

 

 

Розглянемо послідовність і суть методу. Нехай для довільного ходу

маємо систему умовних рівнянь:

 

 

 

 

 

(І)

 

[со$аа>]+—\Г]У\+ /х

=0;

(II)

(11.8.37)

Р

 

 

 

[8ІПСю]--[^]+/

=0.

(III)

 

Р

 

 

 

Будемо одночасно розв'язувати ці рівняння під додатковою умовою:

]+[/>/]= шіп.

(ІІ.8.38)

Тут Р5 - ваги вимірювання ліній, / д - ваги вимірювання кутів.

Як відомо, ваги вимірювання - величини, обернено пропорційні квадратам квадратичних похибок. Тому запишемо:

Р. =

с

Р«=-

с

№

тРг

У цих виразах /и - коефіцієнт випадкового впливу лінійних вимірів; тр - похибка виміру кута, с - довільний коефіцієнт пропорційності.

Користуючись довільністю с, приймемо: с = / А

Тоді отримаємо:

Р - І - Р

 

Р = Vі

Р

Рг

р1

Таким чином, ваги виміру ліній - змінні

величини й обернено про-

порційні довжині ліній, а кути мають однакові ваги, оскільки вимірюються приладами однієї точності і за однаковою програмою вимірів.

Як відомо зі способу найменших квадратів, розв'язання (ІІ.8.37) лід додатковою умовою (ІІ.8.38) приводить до нормальних рівнянь корелат, яких буде стільки, скільки умовних рівнянь. У загальному вигляді нормальні рівняння корелат записуються так:

тИТ

к2 +

~

1*3=0;

(/)

 

 

 

аЬ_кІ +

ку+

-

к3+/х=

0; (//)

(ІІ.8.39)

Р

 

 

 

 

 

ас

 

сс

 

 

 

Т к1 +

к2 +

тк3+/у=0.

(III)

 

264

У цих рівняннях , кг, А3 - корелати - проміжні невідомі, знайшовши які в подальшому, можна буде обчислити шукані поправки в кути V, і в

ліній щ .

Літерами аі , , с, позначені коефіцієнти при невідомих поправках у кути та лінії відповідно в умовних рівняннях І, II, III системи (П.8.37).

Складемо таблицю коефіцієнтів у відповідності з рівняннями (11.8.37)

окремо для поправок в кути та в лінії.

 

 

 

 

 

 

Коефіцієнта умовних рівнянь

Таблиця ІІ.8.1.

 

 

 

 

№№

 

Для поправок у кути

 

Для поправок у лінії

 

Рівнянь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І

 

а. = аг

=...

= а„+1

= 1

 

аі = а 2 = . . . = а „ = 0

 

II

 

Ь^-Пі

(/

=1,2,...,

л+1)

= соха,, (і

= 1,2,3,,.,

я)

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

с,=—Сі

 

(і

=

1.

2, ...,

с, = 8Іпа. (і

= 1,2,3,..,

п)

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо, як змінюються нормальні рівняння корелат, якщо замість

коефіцієнтів

ап

Ьп с. підставити їх фактичні значення:

 

 

 

для кутів:

 

 

 

 

 

дляліній:

 

аЬ

1

= 0

 

 

 

 

аЬ

= 0

 

 

Р

У

 

 

 

 

 

 

РрР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ас

1

 

 

 

 

 

ас

= 0

 

~Р

 

 

 

 

 

 

РрР

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, нормальні рівняння набудуть скороченого вигляду:

 

 

 

аа

к.і = 0;

 

 

 

(І)

 

 

 

 

р _ і

'Ьс

кі + / х = 0 ;

(II)

(П.8.40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьс

к2 +

сс

* , + / , = 0 .

(III)

 

 

 

 

— -

 

 

 

 

 

р

і

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сума

аа

ф 0. Тому в рівнянні (І) системи = 0.

 

 

Таким чином, завдяки тому, що [?/, ] = 0 та

] = 0, в системі (11.8.40)

залишається тільки два рівняння, які необхідно

розв'язувати

одночасно.

'ЬЬ

'Ьс'

сс

 

III системи

Позначимо —

= А; —

= В\ — =С, тоді рівняння II та

.

 

 

 

 

р

Р

Р

 

 

(11.8.40) набудуть вигляду:

Ак2+Вк3+/Х= 0; Вкг+Скг+/у-= 0.

Розв'яжемо ці два рівняння:

С/х

*2 " АС--В2 А/у

кг~ АС- В2

Загальна формула переходу від корелат до трьох умовних рівняннях має вигляд:

Враховуючи, що кх = 0, будемо мати:

і

(ІІ.8.4І)

(ІІ.8.42)

(И.8.43)

шуканих поправок при

(ТІ.8.44)

(11.8.45)

Поправки в кути знайдуться за формулою:

(11.8.46)

ю,і =—(со$а,£2 + 5 І п а , £ 3 ) .

(11.8.47)

Відповідно поправки в лінії знайдуться, аналогічно:

 

Оскільки Р3 =—,то — = 5,,тому оз{ =(5,со5 а { к 2

+5І 8ІпаІ 13 ),

а, = Ах,к2 + АуІкі.

(11.8.48)

Виправивши виміряні кути вторинними поправками V, та лінії поправками (У, , задовольнимо усі геометричні умови, що виникають в полігонометричному ході і знайдемо ймовірніші координати пунктів ходу.

11.8.6. Строге зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу корелатним методом

Нехай маємо витягнутий полігонометричний хід, координати точок якого обчислені за виміряними кутами та лініями і, в результаті, кінцева

266

точка ходу В' не співпала з фактичною кінцевою точкою ходу В, координати якої відомі. Тоді відрізок В'В = € лінійна нев'язка ходу (рис. 11.8.4).

Ві.

Н,

ви

Рис. ІІ.8.4. До зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу.

Повернемо координатну вісь X існуючої системи координат і спрямуємо її вздовж замикаючої ходу. Новий напрямок осі абсцис позначимо X', а вісь ординат ¥'. Спроектуємо точку В на вісь X'. Як видно з рисунка, після повороту координатної системи нев'язка /х стане рівною поздовжньому зсуву І, а нев'язка / у - поперечному зсуву и. Враховуючи це,

запишемо скорочені нормальні рівняння:

 

0

(І)

 

 

 

ьь к2

+

Ьс

к}+1 = 0

(II)

(11.8.49)

 

і.

 

_Р

 

 

 

'Ьс'

к2

+

гсс

кг+и=0

(III)

 

Р

р

 

 

 

 

 

 

Оскільки дирекційний кут замикаючої а

= 0°(со$а

= 1; зіпа = 0; ці

~0), то рівняння (ІІ.8.37) набудуть вигляду:

И- о

[со]+і = 0

(ІІ.8.50)

-- [ < у ] + и = 0

Р

267

Складемо на основі (11.8.50) таблицю

коефіцієнтів

нормальних рів-

нянь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця ІІ.8.2,

 

Коефіцієнти нормальних рівнянь для витягнутого

 

 

 

плігонометричного ходу

 

 

 

№ рівнянь

Для поправок в кути

Для поправок в лінії

І

а\ = °2 =

= 1

 

я, = аг = а, = ...=

ая =0

П

А, =0; (і

= 1,2,..., и+1)

Ь, = 1; (/

=

1, 2

п)\

III

с, = - - £ ; ( » = 1,2,...,

и+1)

с,. = 0 (/

=

1,2,..,

и);

 

Р

 

 

 

 

 

 

Надамо нормальним рівнянням

відповідного вигляду, враховуючи

значення коефіцієнтів таблиці ІІ.8.2 і те, що ~

= , а [5, ] = Ь :

 

 

 

(ІІ.8.51)

1 М з + « = °

 

Розв'яжемо систему (ІІ.8.51) відносно невідомих корелат:

 

к

і -

(11.8.52)

 

 

(11.8.53)

Залишається знайти шукані поправки в кути V, та в лінії

соі. Скорис-

таємося вже відомою формулою (ІІ.8.45):

 

У ^ и ь ^ + ч к з).

(ІІ.8.45)

"і

 

 

Значення коефіцієнтів 2>( і с(

візьмемо з таблиці И.8.2. Отримаємо:

• для ліній:

 

 

^ И 5

"

(ІІ.8.54)

 

для кутів:

/

У, = т^

Рр р

Виправивши лінії та кути відповідними поправками, знайдемо ймо-

вірніші координати пунктів ходу. Приклад зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу буде подано в параграфі Н.8.8.

11.8.7. Строге зрівноваження витягнутого рівностороннього полігонометричного ходу

Обчислення поправок в лінії виконується за простою формулою:

Ш і = - |ь5 . .

(ІІ.8.56)

Оскільки — = с -

постійна величина для

І

 

даного ходу,

а лінії рівні, тоді поправки в лінії

будуть однаковими:

 

 

ю ^ - с З . .

(II.8.57)

Проте,

для обчислення поправок

Уі в кути

необхідно знати абсциси точок ходу відносно центру

Л

2

у 4

уз

ваги ходу

та суму їх квадратів

].

Розглянемо, як зміниться формула (ІІ.8.55) у випадку рівностороннього ходу. Візьмемо для простоти хід із парним числом сторін и. Це буде справедливим і для непарного числа сторін. Направимо вісь X уздовж ходу і за початок координат приймемо першу точку (рис. ІІ.8.5).

Тоді: Хх = 0; Хг =

Х3 = 23.

Таким чи-

ном, для будь-якої точки і

маємо:

 

*,=(/ - 1) - 5 .

(ІІ.8.58)

§ Р2

 

При цьому центральна абсциса знайдеться за

5і

 

формулою:

 

 

 

 

 

А (Р,)

У

 

 

 

 

 

(П.8.59)

Визначимо абсцису точок ходу відносно цен-

Рис. ІІ.8.5. До зрівно-

-гра в а г и ;

 

 

 

 

 

важення витягнутого

£ -

Х -Х~

 

 

(II860)

рівностороннього

 

/

 

і

»»

 

 

ходу полігонометрії.

- - /.

=

.„

„ И„

=

„[. и

 

 

або:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Н.8.61)

269

Розглянемо далі, як зміниться

Спочатку знайдемо на 0сН()в

(1І.8.61) значення всіх £ .

 

Маємо:

 

<АгіУ

(И.8.62)

Л"'* ^

-і

2

І

Такими ж по абсолютній величині будуть абсциси для другої половини

точок ходу, тільки зі знаком "плюс". Тому

] можна представити так:

( п \ 2

+

Ґ

\

 

(П.8.63)

—

І2

)Ч

И ' — '

 

 

{2)

 

 

У квадратних дужках сума квадратів натурального ряду чисел від 2-

доі

 

 

 

 

 

Як відомо, для такого ряду з п чисел справедлива формула:

 

Л 2

_ и(и+і)(2л + і)

(ІІ.8.64)

Г

 

 

6

 

 

 

 

 

Для і = ^ маємо (помноживши і поділивши на 2 п):

 

 

О2 -

+ 1, 1

І

п

к}=212-

и

)1 2

)

2

п

Після перетворень

Таким чином

М

Враховуючи, що 5 „

2І_ (П + ІХП + 2 ) Ь 2

12п

и\2п

Іг{п + !)(« + 2) І 2

= Ь _ а т а к о ж П03Начивши:

(И.8.65)

( I I . 8 . 6 6 )

(я + іХл + 2Я 2

отримаємо для поправок в кути просту формулу:

У^р - Ь, . (ІІ.8.68)

Зауважимо, що Ьі є функцією тільки числа сторін ходу п та номера сторони ходу і. Професором А.С.Чеботарьовим складені таблиці Ь = /(«,/). Під

час обчислення поправок в кути значення Ь, вибираються з цих таблиць. Таким чином, зрівноваження витягнутого рівностороннього ходу

(майже рівностороннього) значно спрощується.

11.8.8. Приклад зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу корепатним методом (способом найменших квадратів)

Для кращого розуміння процесу зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу, наведеного в параграфі ІІ.8.6, приведемо приклад такого зрівноваження. Використовується відомість обчислення координат, в останньому стовпчику якої подані робочі формули та виконані допоміжні обчислення.

Увертикальній графі 1 виписані номери відомих та тільки що закладених пунктів, координати яких слід визначити.

Уграфі 2 виписані виміряні кути, включаючи і прилеглі. Нев'язка в

ході виявилась рівною

=20", за допустимої /рдоп = ±24". Ця нев'язка

майже порівну розподілена у виміряні кути з оберненим знаком. Поправки величиною 2", або 3" виписані зверху над виміряними кутами. Внизу, під виміряними кутами, виписані вторинні поправки, поки що невідомі. Щоб позбутися двох поправок на кожний кут можна в графу 2 записати кути, уже виправлені первинними поправками, або доповнити відомість ще одною вертикальною графою.

Далі, переходимо до обчислення дирекційних кутів, використовуючи кути, виправлені первинними поправками. Дирекційні кути записуємо в графу 3. Початковий дирекційний кут ап = 101°38'46" і кінцевий ак = 329°36'29", ЯК задані, уже повинні бути записані у відомість (у графу 3). Так

само в графах 10 та 11 повинні бути записані координати початкової (№ 38) та кінцевої (№ 40) точок:

ЛГ„ =212,421; У38 =7835,154; Хю =2069,639; У40 = 8722,717. Контролем правильності обчислень дирекційних кутів є формула:

я+1

І

Тобто, послідовно обчислюючи дирекційні кути усіх ліній, використовуючи спочатку ап - початковий дирекційний кут а37_28 = 101°38'46"

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности